数值计算方法大作业1.ppt

华长生制作 * 江西财经大学 数学与决策科学系 制作：华长生 大作业（1） ——估计水塔的水流量(AMCM91) 某地的用水管理机构要求各社区提供每小时多少升计的 用水率以及所用的总水量.许多社区没有测量流入或流 出水塔的水量的装置,只能代之以每小时测量水塔中的水 位,其误差不超过0.5%,更重要的是,当水塔的水位下降到 最低水位L时水泵就自动启动向水塔输水直到最高水位 H水泵自动停止,并且也不能测量水泵的供水量.因此当水 泵正在输水时不容易建立水塔中水位和水泵供水时用水 量之间的关系,水泵每天供水一次或两次,每次约二小时. 试估计任何时刻(包括水泵供水时)从水塔流出的流量f(t), 并估计一天中的总水量.(附表为某地一天中真实的数据) 某地某天水塔水位 时间(秒) 0 3316 6635 10619 13937 17921 21240 25223 28543 32284 35932 39332 39435 43318 水位(0.01英尺) 3175 3110 3054 2994 2947 2892 2850 2795 2752 2697 水泵开动 水泵开动 3550 3445 时间(秒) 46636 49953 53936 57254 60574 64554 68535 71854 75021 79254 82649 85968 89953 93270 水位(0.01英尺) 3350 3260 3167 3087 3012 2927 2842 2767 2697 水泵开动 水泵开动 3475 3397 3340 水塔直径:57英尺 高40英尺 L=27英尺 H=35.5英尺 本问题要用到 插值,拟合,数值 微分和数值积 分等知识,并注 意单位的统一. 一、问题的提出和分析 (简略) 水位 3175 3110 3054 2994 2947 2892 2850 2795 2752 2697 水泵开动 水泵开动 3550 3445 水位 3350 3260 3167 3087 3012 2927 2842 2767 2697 水泵开动 水泵开动 3475 3397 3340 时间 0 0.9211 1.8431 2.9497 3.8714 4.9781 5.9000 7.0064 7.9286 8.9678 9.9811 10.9256 10.9542 12.0328 时间 12.9544 13.8758 14.9822 15.9039 16.8261 17.9317 19.0375 19.9594 20.8392 22.0150 22.9581 23.8800 24.9869 25.9083 时间单位:小时,水位单位:0.01英尺 为了分析的方便 先将数据中的时间 单位化为小时 本问题最大的困难 在于不知道水泵启 动时水位的变化和 向外水流的速度 用水量等于向外水流速度乘以时间(流速的积分) 因此如何确定流速是解决该问题的关键 二、模型的假设 1.除了问题中特别说明的数据以外,其他给定的数据 其测量误差不超过0.5%; 2.一天之中,任意从一个开始时刻,如从t=0起到t=24小 时结束,一天开始时刻的不同不影响一天总水量; 3.管理部门不考虑水流速度的瞬间值,感兴趣的是整 个一天中的用水总趋势; 5.假设水流的速度是连续变化的,流速可以用一条光 滑的曲线近似表示,即在给定的数据点上有连续的 二阶导数 4.水泵抽水的速度是均匀的; 三、模型的建立和求解 1.确定近似流速 水泵不供水时,水流速度不难用数值方法描述 但如何描述清楚水泵向水塔供水期间的流速? 我们首先估计水泵不启动时,每个已知数据点上的流速 流速等于水量的变化除以时间的变化 水泵不启动时段共有3段 对于每段 的前两个点 对于每段 的后两个点 对于每段 的其余点 如此,可得各时刻点上的流速(见下图(立方英尺/小时）) (负号保证流速为正数) 2.确定水泵启动时的流量及总流量曲线 在1.中已经得到了已知数据点(水泵不启动时)上的近似流速 根据假设5,水流的速度可以表示为一条光滑的曲线 因此考虑使用已经求出的水泵未启动时 的流速来近似模拟水泵启动时的流速 这种模拟有两种方式: 插值和拟合 由于假设流速具有连续的二阶导数 因此采用三次样条插值多项式来模拟任意时刻的流速 见下图 水泵启动 3.确定总用水量 前面已经求出水流的流速曲线,如何求总用水量呢? 可以考虑以下两种方式: (1).一种方式是使用流速在时刻0至24小时上积分 使用MATLAB软件中的梯形求积公式 Q=trapz(t,v) t的范围0~24小时 从流速曲线图可以看出,流速在0时刻和24时的流速 近似相等,因此流速是近似地以一天为周期的 (2)直接根据