数值积分第二章插值.ppt

三、例题 例1 已知数据如表1所示,求它的拟合函数 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 xi 1 3 4 5 6 7 8 9 10 yi 10 5 4 2 1 1 2 3 4 表1 解：根据已知数据画出散点图如图1所示。 图1 由图1可以看出它近似一条抛物线,故可设拟合曲线为 建立正则方程组,计算下面各个值 编号 xi yi xiyi xi2 xi2yi xi3 xi4 1 1 10 10 1 10 1 1 2 3 5 15 9 45 27 81 3 4 4 16 16 64 64 256 4 5 2 10 25 50 125 625 5 6 1 6 36 36 216 1296 6 7 1 7 49 49 343 2401 7 8 2 16 64 128 512 4096 8 9 3 27 81 243 729 6561 9 10 4 40 100 400 1000 10000 53 32 147 381 1025 3017 25317 写出a0, a1, a2的正规方程组: 例 2 由下表的数据求一个形如 1 2 3 4 5 6 7 8 15.3 20.5 27.4 36.6 49.1 65.6 87.8 117.6 编号 xi yi zi Zi*xi 1 1 15.3 1.1847 1.18 4691 2 2 20.5 1.3118 2.62 3508 3 3 27.4 1.4378 4.31 3252 4 4 36.6 1.5635 6.25 3924 5 5 49.1 1.6911 8.455407 6 6 65.6 1.8169 10.89745 7 7 87.8 1.9435 13.60446 8 8 117.6 2.0704 16.56326 表2： 例3 表3是某化学反应所得生成物的浓度与时间关系,求浓度y与时间t的拟合曲线y=f(t) 编号 时间t(分) 浓度y 1/y 1 1 0.0064 156.25 2 2 0.0088 113.6364 3 3 0.0095 105.2632 4 4 0.00986 101.4199 5 5 0.0102 98.03922 6 6 0.01042 95.96929 7 7 0.01055 94.78673 8 8 0.0106 94.33962 9 9 0.004 250 10 10 0.008 125 11 11 0.00922 108.4599 12 12 0.0097 103.0928 13 13 0.01 100 14 14 0.01032 96.89922 15 15 0.0105 95.2381 16 16 0.01058 94.51796 解:作出数据的散点如下图所示. 由图形可以看出浓度先是较快的增长,然后逐渐减弱,而且 (其中C是一有限数),故函数有水平渐近线.由此可设拟合函数为双曲线类型. 注:在matlab有一个可以直接调用的多项式拟合函数ployfit() 格式:a=ployfit(x,y,n) 其中,x,y为给定的已知数组,n为拟合多项式的次数,一般取n不超过6. 例有: 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 1.75 2.45 3.81 4.80 7.00 8.60 在matlab命令窗口输入: x=[0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0]; y=[1.75 2.45 3.81 4.80 7.00 8.60]; a=ployfit(x,y,2) a= 0.5614 0.8287 1.1560 即所求的多项式为: 二、分段线性插值 设在区间[a ,b]上给定n+1个节点, 以及各节点的函数值 。作一插值函数 使满足: 我们称函数P(x)为[a , b ]上关于数据(xi , yi) (i=0, 1, …, n)的 分段线性插值函数. 由Lagrange线性插值公式,可写出分段表达式 xi 0 1 2 3 4 5 1.00000 0.50000 0.20000 0.10000 0.05882 0.03846 i=1,2,3,4 x0=-5:0.1:5; y1=1./(1+x0.^2); x=-5:1:5;//坐标 y=1./(1+x.^2); y2=interp1(x,y,x0); plot(x0,y1) hold on plot(x0,y2,*m‘) 二、Hermite分段插值多项式 以上介绍的分段线性插值只能保持节点处函数连续因而光滑性较差,下面介绍的分段三次Hermite插值多项式是插值区间