数学分析课件第四章 不定积分.ppt

第四章 不定积分 定义. 设 在 有定义. 若 * §1 原函数与不定积分 1. 原函数 则称 是 在 的一个原函 数. 在 可微, 且 定理1.1. 若 是 的一个原函 数, 则对任意一个常数 , 都是 的原函数. 定理1.2. 若 , 都是 的原函数, 则存在常数 , 使得 . 注. 只要知道一个 在 的原函数, 就得到一切原函数. 例1. 求 的所有原函数. 定义. 在某个区间的原函数的一般形 式 , 称作 的不定积分, 记作 其中 称作被积函数. 注. 例2. 求 2. 基本不定积分表 基本初等函数导数表的逆 注. 不定积分与某个区间有关. 公式表中所对 应的区间, 可以取成落在被积函数定义域 内的任何一个区间. 注. 注. 同时 注意到 3. 不定积分的线性法则 定理1.3. 其中 是任意常数, 不全为 . 注.两个任意常数的线性组合仍是任意常数. 例3. 求 例4. 求 例5. 求 例6. 求 4. 求不定积分的意义 注. 解微分方程 例7. 已知 在任意一点 处的切线斜 率为 , 且过 , 求该曲线的方程. 注. §2 不定积分的换元法则 1. 第一换元法则 已知 , 又设 是可微函数, 则 另一种形式 注. 也称凑微分法. 例1. 求 例2. 求 例3. 求 例4. 求 例5. 求 思考题. 求 2. 第二换元法则 作变换 , 其中 是 的原函数. 基本思想. 通过换元 , 使得 换成 , 而后者容易找到原函数. 例6. 求 例7. 求 例8. 求 注. 例9. 求 §3 分部积分公式 称作分部积分公式. 也记作 例1. 求 例2. 求 例3. 求 例4. 求 例5. 求 注. 并非所有初等函数的原函数都是初等函数. 思考题. §4 有理函数的积分 有理函数的原函数都是初等函数 1. 有理式和部分分式 给定 , , 是多项式. 设 若 , 则称 是真分式. 若 , 则称 是假分式. 若 是假分式, 则 其中 是多项式, 是真分式. 部分分式是形如 的真分式. 真分式可以分解成若干个部分分式之和. 真分式 分解成部分分式之和的步骤 (1) 其中 对应的部分分式为 *