数学分析课件 第一型曲线积分.ppt

返回 后页 前页 §1 第一型曲线积分 本节将研究定义在平面或空间曲线段上的第一型曲线积分.此类积分的典型物理背景是求非均匀分布的曲线状物体的质量. 二、第一型曲线积分的计算 一、第一型曲线积分的定义 返回 一． 第一型曲线积分的定义 上的连续函 是定义在 设某物体的密度函数 数当 是直线段时, 应用定积分就能计算得该物体 的质量. 现在研究当 是平面或空间中某一可求长度的曲线 段时物体的质量的计算问题. (2) 近似求和：在每一个 上任取一点 由于 (1) 分割：把 分成 个可求长度的小曲线段 上的连续函数, 故当 的弧长都很小时, 每一小段 的质量可近似地等于 其中 为小曲线段 的长度. 于是在整个 上的质量就近似地等于和式 (3) 当对 的分割越来越细密(即 ) 时, 上述和式的极限就应是该物体的质量. 由上面看到, 求物质曲线段的质量, 与求直线段的质 量一样, 也是通过“分割、近似求和、取极限”来得 到的. 下面给出这类积分的定义. 个可求长度的小曲线段 的弧长 ,它把 定义在 上的函数. 对曲线 做分割 分成 记为 分割 的细度为 在 上任取 一点 若有极限 为平面上可求长度的曲线段, 定义1 设 为 且 的值与分割 的取法无关, 则称此 极限为 上的第一型曲线积分, 记作 为空间可求长曲线段 , 若 为定义在 上 的函数, 则可类似地定义 在空间曲线 上 的第一型曲线积分, 并且记作 于是前面讲到的质量分布在曲线段 上的物体的质 量可由第一型曲线积分 (1) 或 (2) 求得. 1. 若 在 为 常数, 则 也存在, 且 2. 若曲线段 由曲线 首尾相接而成, 都存在, 则 也存在, 且 3． 都存在, 且在 则 4． 也存在, 且 5． 存在, 的弧长为 则存在常数 使得 6. 第一型曲线积分的几何意义 为L 若 为坐标平面 上的分段光滑曲线, 上定义的连续非负函数. 由第一型曲线的定义, 易见 以 为准线, 母线平行于 轴的柱面上截取 的部分的面积就是 二． 第一型曲线积分的计算 定理20.1 设有光滑曲线 为定义在 上的连续函数, 则 证 由弧长公式知道, 上由 的弧长 的连续性与积分中值定理, 有 所以 这里 则有 令 现在证明 因为复合函数 连续, 所以在闭区 间 上有界, 即存在常数 使对一切 都有 再由 上连续, 所以它在 上一致连续, 即对任给的 使当 时, 从而 所以 因此当在(4)式两边取极限后, 即得所要证的(3)式. 上有连续的导函数时, (3)式成为 再由定积分定义 当曲线 由方程 表示, 且 在 上有连续导函数时, (3)式成为 例1 设 是半圆周 试计算第一型曲线积分 解 当曲线 L由方程 表示, 且 在 例2 一段(图20-2), 试计算第一型曲线积分 解 由参 仿照定理20.1, 对于空间曲线积分(2), 当曲线 量方程 表示时, 其计算公式为: 例3 计算 其中 为球面 被平面 所截得的圆周. 解 由对称性知 所以 *例4 计算 其中 为内摆线 解 由对称性知