数学分析课件 二重积分概念.ppt

返回 后页 前页 §1 二重积分概念 二重积分是定积分在平面上的推广, 不 同之处在于: 定积分定义在区间上, 区间的 长度容易计算, 而二重积分定义在平面区 域上, 其面积的计算要复杂得多. 一、平面图形的面积 二、二重积分的定义及其存在性 三、二重积分的性质 返回 一、平面图形的面积 我们首先定义平面图形的面积. 所谓一个平面图形 P 是有界的, 是指构成这个平面图形的点集是平面 上的有界点集, 即存在一矩形 R , 使得 设 P 是一平面有界图形, 用平行于二坐标轴的某一 组直线网 T 分割这个图形 (图21-1) , 这时直线网 T 的网眼 (小闭矩形) 可分为三类: (i) 上的点都是 P 的内点; (ii) 上的点都是 P 的外点, 即 (iii) 上含有 P 的边界点. 将所有属于第(i) 类小矩形 (图 21-1 中紫色部分)的面 积加起来,记这个和数为 里 表示包含P 的那个矩 形 R 的面积); 将所有第 (i) 类与第 (ii) 类小矩形的 面积加起来(图 21-1中着色部分),记这个和数为 则有 则有 (这 由确界存在定理可以推得,对于平面上所有直线网, 显然有 通常称 为 P 的内面积, 为 P 的外面积. 定义1 若平面图形 P 满足 = , 则称 P 为可求面 积的图形,并把共同值 作为 P 的面积. 定理21.1 平面有界图形 P 可求面积的充要条件是: 数集 有上确界, 有下确界. 记 对任给的 总存在直线网 T, 使得 证 必要性 设有界图形 P 的面积为 . 由定义 1, 有 由 及 的定义知道, 分别 存在直线网 与 使得 记 T 为由 与 这两个直线网合并所成的直线网, 可证得 于是由(3)可得 从而对直线网 T 有 充分性 设对任给的 存在某直线网 T, 使得 但 所以 由 的任意性, 得 因而平面图形 P 可求面 积. 推论 平面有界图形 P 的面积为零的充要条件是它 的外面积 即对任给的 存在直线网 T, 使得 或对任给的 平面图形 P 能被有限个面积总和 小于 的小矩形所覆盖. 定理 21.2 平面有界图形 P 可求面积的充要条件是: P 的边界 K 的面积为零. 证 由定理21.1,P 可求面积的充要条件是: 对任给 的 存在直线网T, 使得 由于 所以也有 由上述推论, P 的边界K 的面积 为零. 定理21.3 若曲线 K 为定义在 上的连续函数 的图象, 则曲线 K 的面积为零. 证 由于 在闭区间 上连续, 所以它在 上一致连续. 因而, 当 ， 时, 可使 在每个小区间 上的振幅都成 高的小矩形所覆盖. 由于这 n 个小矩形面积的总和 立 即若把曲线 K 按 分 成 n 个小段, 则每一小段都能被以 为宽, 为 因此由定理21.1 的推论即得曲线 K 的面积为零. 推论1 参量方程 所表 示的光滑曲线或按段光滑曲线,其面积一定为零. 证 由光滑曲线的定义， 均存在且不同时为零. 由隐函数存在性定理, (或 因此 (或 ) 在 上有反函数. 再由有限覆盖定理, 可把区间 使得在每一段 上， (或 ) 存在 上的曲线面积为零, 从而整个曲线面积为零. 推论2 由平面光滑曲线或按段光滑曲线所围的平面 图形都是可求面积的. 分成 n 段: (或 ,于是在 上 反函数 (或 所以在 有连续的 注 平面中并非所有的点集都是可求面积的. 例如 易知 因此 是不可求面积的. 二、二重积分的定义及其存在性 二重积分的几何背景是 求曲顶柱体的体积.设 为定义在可求 面积的有界闭域 D上的 非负连续函数.求以曲 面 为顶, D 为 底的柱体 (图21-2) 的体积 V. 图 21-2 采用类似于求曲边梯形面积的方法. (1) 分割:先用一组平行于坐标轴的直线网 T 把区域 D 分成 n 个小区域 ( 称 T 为区域 D 的一个分割). 以 表示小区域 的面积. 这个直 线网也相应地把曲顶柱体分割成 n 个以 为底的小