数学建模：投资风险与收益.doc

数学建模大作业 教师： ****** 题目： 投资的风险与组合 学生： tigerl 学号： ********** 2011年5月20日 投资的组合与风险 ******** tigerl 【摘要】本文对投资的组合与风险收益问题进行了建模求解，给出了已确定收益和风险的情况下的项目投资求解结果。模型主要确定如何对各个项目进行资金分配，以获得最大的收益，且风险最小。本文首先对问题进行了详细的分析，而后采用比较成熟的线性规划方法对这个问题的各个变量关系进行整理，然后对问题进行了合理的简化，再对问题从不同的角度建立了3个不同的模型，然后用MATLAB进行了求解，得到了与经验一致的结果。问题（1）的最大收益为27%，此时风险为2.5%；问题（2）的最大收益为41%，此时风险为57%。 【关键词】 线性规划 MATLAB 最大收益 最小风险 1.问题重述 市场上有n种资产（如股票、债券、…）Si ( i=1,…n) 供投资者选择，某公司有数额为M的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这n种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买Si的平均收益率为ri，并预测出购买Si的风险损失率为qi。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的Si中最大的一个风险来度量 购买Si要付交易费，费率为pi，并且当购买额不超过给定值 ui时，交易费按购买ui计算 （不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是r。, 且既无交易费又无风险。（r。=5%） （1）试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。 （2）试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用所给数据进行计算。 2.基本假设 假设财务人员的评估准确，数据符合市场实际； 假设同期银行的存款无交易费无风险； 假设所有的投资回收期都相同； 假设总的风险以投资的项目中的风险最大的一个项目来量度。 3.符号说明 ———公司的总投资额； ———第i个投资项目； ———给第i个项目的总投资（投资占总资金的百分比）； ———第i个项目的最低购买额； ———第i个项目的交易费率； ———第i个项目的风险率； ———第i个项目的收益率； ———投资总收益； ———投资总风险； ———投资者看重的风险与收益的权重比，记为保守系数； ——一定保守系数的收益与风险加权的综合值。 4.模型的分析建立 这是一个多目标优化问题，目标有二，净收益最大和整体风险最小，一般来说，这两个目标是矛盾的，收益大，风险必然大，所以不可能给出这两个目标同时达到最优的所谓最优决策，我们追求的只能是，在一定的风险下收益最大的决策，或在一定收益下风险最小的决策，或收益和风险按一定比例组合最优的决策。这就是说应该给出的不是一个解，而是一组解，比如在一系列风险值下收益最大的决策，冒险者会从中选择高风险下收益最大的决策，保守者会从低风险下的决策中选择。 4.0模型建立 4.0.1 设对项目的总投资为，第i个项目的交易费为，第i项目的收益为，第i个项目的风险为，设将钱存入银行为项目,收益率为=5%，风险率为=0。 第i个项目的投资交易费为： 净收益为： 风险为： 4.0.2 设总的收益为，总的风险为 ，则有 4.0.3 模型的简化 （1）交易费的简化 由于交易费中固定费用的存在, 使得模型中的目标函数或约束条件是非光滑的, 求解非常困难. 考虑到总资金M相当大, 而交易费中的又相当小, 故可假设对每个的投资都超过, 于是交易费可简化为线性函数 （2）归一化处理 在具体计算时可设设M=1, 这时将视作投资项目占总资金的比例， 即 4.1模型A——固定风险水平时收益最大化 首先考虑在一定风险下利益的最大化，此时目标函数为投资总收益，设在承受最大风险为t的情况下,则模型如下 4.2模型B——固定收益时风险的最小化 此模型考虑在一定收益下风险的最小化，由于风险量度不是线性函数，故需引入人工变量， 令，即可使变成线性函数。 设设定的最低收益为t,此时目标函数为投资总风险模型为 4.3模型C——综合考虑风险与收益 由于前两个模型都是限制其中一个目标，将多目标问题转化成单目标问题求解。这里着重考虑将两个目标给以不同的权系数，即可把多目标函数进行线性加权得到新目标函数，即转化成了线性目标函数。由此模型便可得到在该权系数下的综合值。 设定收益的权系数为1，给风险一个权系数，令，则越大表明风险越小，收益越大。对保守者而言，希望风险尽量小；对冒险者而言，希望收益尽可能大。 由于越大则占的权重系数越大，