数学建模(微积分)二.ppt

数学建模之微积分模型(二) 微分方程建模具体实例 宁波职业技术学院数学教研室 数学建模讲座 宁波职业技术学院数学教研室 数学建模讲座 曹勃 实例一、椅子在地面上放稳的问题 实例二、咳嗽问题 实例六、广告决策问题 实例七、价格竞争模型 实例四、储存销售模型 实例三、减肥模型 实例五、屋檐水槽的模型 实例八、药物模型 实例九、湖水污染模型 实例十、群体遗传模型 实例十一、森林救火数学模型 不允许缺货的贮存数学模型 工厂要定期地订购各种原料，在仓库里供生产之用。商店要成批地购进各种商品，放在货柜中以备零售。水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和航运。无论是原料、商品还是水的贮存，都有贮存多少的问题。原料、商品贮存得太多，贮存费用高；贮存得太少，则无法满足需求。水库雨季蓄水过量，更可能危及安全。当影响贮存量的因素包含随机性时，如顾客对商品的需求，天气对蓄水的影响，需要建立贮存模型。 贮存模型 背景知识 首先假定需求是恒定的，并且不允许缺货现 出现，如钢厂订购废钢以供炼钢用，因为炼钢生产对原料的需求是一定的，而且一旦缺少了原料将造成巨大的损失。 在不允许缺货的情况下，只考虑两种费用： （1）、订货时需付的一次性订货费； （2）、货物贮存费 至于货物本身的价格，下面将看到它与要讨论的优化问题无关。 建立模型的目的是在单位时间内需求量为常数的情况下，制订最优贮存策略。 即多长时间订一次货，每次订多少货，使总费用最小 问题 分析 模型 假设 为了叙述方便，设时间以天为单位，货物以吨为单位，每隔T天订一次货（T称为订货周期）。订货量为Q吨。 　　订货费、贮存费及单位时间需求量均为已知常数。 　　模型要以总费用为目标函数确定订货周期T和订货量的最优值。假设条件可归纳如下： （1）、每次订货费为c1,每天每吨货物贮存费为c2； （2）、每天的货物需求量为r吨； （3）、每T天订货Q吨，当贮存量降为零时，订货立即到达。 　　对于第3条假设中订货可以瞬时完成，可解释为由于需求是确定和已知的，只需要提前订货，使得贮存量为零时立即进货即可。当然，贮存量降到零不符合实际生产的需要，应该有一个最低库存量，可以认为模型中贮存量是在这个最低存量之上计算的。 模型 建立 订货周期T，订货量Q与每天需求量r之间满足 　　订货后贮存量由Q均匀地下降，记任意时刻t的贮存量为q，则q(t)的变化规律可以用图1表示 （1） t q Q r A T 0 图1 考察一个订货周期的总费用：订货费为c1;贮存费是 其中积分恰等于图中三角形的面积为A，显然 由（1）可知，一个订货周期T内的总费用为 （2） 这个贮存模型的目标函数不能是一个周期的总费用 而应取作每天的平均费用，记作C（T），显然 （3） 制订最优贮存策略归结为求订货周期T，使C（T）最小 利用微分法，令 ，不难求得 （4） 再根据（1）有， （5） 模型分析 （5） 这就是经济理论中著名的经济订货批量公式（EOQ公式） 　　货物本身的价格可不考虑，这是因为若记每吨货的价格为k，则一周期的总费用　中应添加kQ，由于 所以公式（3）中增加一常数项kr，对求解结果 式（4）、（5）没有影响。 　（5）式表明，订货费c1越高，需求量越大，订货批量Q应越大；贮存费c2越高，订货批量Q应越小，这些关系当然是符合常识的，不过公式在定量上表明的平方关系却是凭常识方法得到的 允许缺货的贮存数学模型 考察一个商店经理制订最优订货周期和是最优订货指是经常碰到的问题。 设市场对某种商品的需求是确定的和已知的。仅是允许缺货时因失去销售机会而使利润减少，减少的利润可以视为因缺货而付出的费用。于是，这个模型的第1、2条假设条件与不允许缺货的贮存模型相同，而第3条改为： （3）′每隔T天订货Q吨，允许缺货，每天每吨货物缺货费为c3 即假设条件改为： 背景知识 问题分析 模型假设 （1）、每次订货费为c1,每天每吨货物贮存费为c2； （2）、每天的货物需求量为r吨； （3）′每隔T天订货Q吨，允许缺货，每天每吨货物缺货费为c3 模型建立 t q Q r A T 0 B 图2 缺货时贮存量q视作负值，q(t)如图2所示；货物在t=T1时售完，有一段时间缺货（这时需求量仍为r，在t=T时下一次订货量Q到达。 于是 一个订货周期T内的总费用：订货费c1;贮存费 ，其中积分等于图中三角形面积A， ，缺货费 ，其中积分等于三角形面积B，易知 于是总费用为 模型的目标函数仍为每天的平均费用。 （1） （2） 记作C（Q，T），且 （3） 利用微分法，令 ，可以求出T，Q的最优值 分别记作T ′，Q′，有 将（2）代入（1），可知平均费用是T和Q的二元函数