数学概念理解不透.docx

数学概念理解不透数学概念所能反映的数学对象的属性，不仅是不分精粗的笼统的属性，它已经是抓住了数学对象的根本的、最重要的本质属性.每一个概念都有一定的外延与内涵.而平时学习中对概念本质的不透彻，对其外延与内涵的掌握不准确，都会在解题中反映出来，导致解题出错.易错点1 误认为原命题与逆命题的真假性相反例命题“若△ABC有一内角为，则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题（）A．与原命题真值相异 B．与原命题的否命题真值相异C．与原命题的逆否命题的真值不同 D．与原命题真值相同【错解】A【错因分析】本题容易出现的错误是对几个概念的理解失误：逆命题——将原命题的题设和结论交换、否命题——将原命题的题设和结论同时否定，逆否命题——将原命题的题设和结论交换后再同时否定，原命题与逆命题、否命题与逆命题是两对互为逆否的命题，互为逆否的命题是等价的.【正确解答】显然，原命题正确；其逆命题为：“若△ABC的三内角成等差数列，则△ABC有一内角为”.也正确，所以选D.易错点2 概念理解不清致错例抛掷一枚均匀的骰子，若事件A：“朝上一面为奇数”，事件B：“朝上一面的点数不超过3”，求P（A+B）【错解一】事件A：朝上一面的点数是1，3，5；事件B：趄上一面的点数为1，2，3，∴P（A+B）=P（A）+P（B）=.【错因分析】事件A：朝上一面的点数是1，3，5；事件B：趄上一面的点数为1，2，3，很明显，事件A与事件B不是互斥事件.即P（A+B）≠P（A）+P（B），所以上解是错误的.【正确解答】A+B包含：朝上一面的点数为1，2，3，5四种情况.∴P（A+B）=.【错解二】事件A：朝上一面的点数为1，3，5；事件B：朝上一面的点数为1，2，3，即以A、B事件中重复的点数1、3，∴P（A+B）=P（A）+P（B）－P（A·B）=.【错因分析】A、B事件中重复点数为1、3，所以P（A·B）=；这种错误解法在于简单地类比应用容斥原理致错.【正确解答】P（A+B）=P（A）+P（B）－P（AB）=.例某人抛掷一枚均匀骰子，构造数列，使，记,求且的概率.【错解】记事件A：，即前8项中，5项取值1，另3项取值－1.∴的概率.记事件B：，将分为两种情形：若第1、2项取值为1，则3，4项的取值任意.若第1项为1，第2项为－1，则第3项必为1第四项任意.∴P（B）=，∴所求事件的概率为P=P（A）·P（B）=.【错因分析】且是同一事件的两个关联的条件，而不是两个相互独立事件.对的概率是有影响的.【正确解答】∵∴前4项的取值分为两种情形：①若1、3项为1；则余下6项中3项为1，另3项为-1即可.即；②若1、2项为正，为避免与第①类重复，则第3项必为-1，则后5项中只须3项为1，余下2项为-1，即，∴所求事件的概率为.例命题“若x，y都是奇数，则x＋y是偶数”的逆否命题是(　　)A．若x，y都是偶数，则x＋y是奇数B．若x，y都不是奇数，则x＋y不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x，y都不是奇数D．若x＋y不是偶数，则x，y不都是奇数【错解】C【错因分析】“x，y都是奇数”的否定中包含三种情况：“x是奇数，y不是奇数”，“x不是奇数，y是奇数”，“x，y都不是奇数”，误把“x，y都不是奇数”作为“x，y都是奇数”的否定而错选C.【正确解答】“都是”的否定是“不都是”，答案选D.【易错突破】对条件进行否定时，要搞清条件包含的各种情况，全面考虑；对于和参数范围有关的问题，可以先化简再否定．补偿练习：已知集合M＝{x|0}，若2D∈M，则实数a的取值范围是________．答案：a≥解析：若2∈M，则0，即(2a－1)(2a2＋1)0，∴a，∴当2D∈M时，a的取值范围为a≥.易错点3　充分条件、必要条件颠倒致误例若p：a∈R，|a|1，q：关于x的二次方程x2＋(a＋1)x＋a－2＝0的一个根大于零，另一个根小于零，则p是q的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【错解】B【错因分析】由p?q应得p是q的充分条件，错解颠倒了充分条件、必要条件．【正确解答】将两条件化简可得p：－1a1，q：a2，易知p?q，且q?p，故p是q的充分不必要条件，选A.【易错突破】在解题时熟练运用以下几种方法即可减少失误：(1)定义法：直接利用定义进行判断；(2)逆否法(等价法)：“p?q”表示p等价于q.要证p?q，只需证它的逆否命题綈q?綈p即可，同理要证p?q，只需证綈q?綈p即可，所以p?q，只需綈q?綈p.(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q都是集合，那么若p?q，则p是q的充分不必要条件；若p?q，则p是q的必要不充分条件；若p＝q，则p是q的充要条件，尤其对于数的集合，可以利用小范围的数一