数学物理方法-1.1 复数及点集,复变函数.ppt

第一章 复变函数的基本概念 复数、复平面上的点集 复变函数的定义 复变函数的极限和连续性 复 数 复数的表示方法 1、代数表示 z=x+iy, (x,y是实数) 实部x =Re(z), 虚部y = Im(z) 2、三角表示 z=r(cosφ+isinφ) 模r=|z|, 辐角φ=Arg(z) 3、指数表示 z=rexp(iφ)或reiφ 其中 exp(iφ)=cosφ+i sinφ 复数的定义： z=x+iy 其中x, y是实数, i= 模和辐角、辐角主值 辐角主值： 辐角：在x-0-y平面上，原点到(x, y)的射线与x正方向的夹角。 0复数不定义辐角。 * 复数的代数运算 1. 两复数的和: 2. 两复数的积: 3. 两复数的商: 复数的四则运算与实数的四则运算保持一致 复数的其它运算 用指数形式表示的乘除法、幂和开方 (x1+ iy1) ×(x2+ iy2) = (x1 x2 – y1y2)+i (x1 y2 + x2y1) r1exp(iφ1)× r2exp(iφ2) = r1r2 exp[i(φ1+φ2)] r1exp(iφ1)/[r2exp(iφ2)] = r1/r2 exp[i(φ1-φ2)] 幂和开方 [r exp(iφ)]n = rn exp(inφ) [r exp(iφ)]1/n = r1/n exp(iφ/n) 共轭复数 z = x + iy → = x – iy z = r exp(iφ) → = r exp(-iφ) 复数的几何含义 重要关系式 x = r cosφ y = r sinφ r = √(x2+y2) 思考：复数的特点？ 无序性，复数无大小； 矢量性，复数有方向； 向量表示 点表示 复数和x-y平面上的点一一对应 复数球表示 除北极点N外，复数球上任意一点与复平面上点一一对应。 复平面，扩充复平面 除北极点N外，复数球上任意一点与复平面上点一一对应。 无穷远点：假想复平面上有唯一一点，与点N对应，且复平面上任一直线都通过该点。z=∞ 包含无穷远点在内的复平面称为扩充复平面，不包含无穷远点的复平面称为有限平面或复平面 复平面上的点集：例题 指出下述等式或不等式表示的点集 提示2： 提示3： a是非0复数，c为实数 （1） （2） （3） 提示1：数形结合 思考题：圆的方程用复数如何表示？ * 虚数符号i的由来 许凯是最先考察负数开平方运算的人，在1484年， 他在解方程4+x2=3x时得到的x值,如以现代的符号 表示他的成果，即 由于 是负数，所以他认为不可能解这方程。 而第一个对负数开方运算进行研究并得到 虚数及其 运算方法的人是卡尔达诺，在1545年，在他所著的 《大术》中，记载了以下的乘法运算： * 当中 相等于根号， 是减（即负），表示√-15。 当时， 他称负数的平方根为「诡辩量」，并且怀疑这些运算数的合理性。 因此，卡尔达诺称正数的根为真实的根（real root），负数的根为虚构的根（fictitious root）。 但实和虚的用法与现代的不同。 * 1637年，在笛卡儿的《几何学》一书中第 一次出现了虚数的名称。「imaginaires」代表虚的，及「reelles」代表实的。 1777年，欧拉在一篇递交给彼得堡科学院 的论文《微分公式》中首次以i来表示: √-1，但很少人注意到。 直到1801年，高斯才有系统 地使用这个符号，并沿用至今。 为什么引入复数？ 数的扩张（完善/完备化） 自然数 减法不封闭→整数 除法不封闭→有理数 不完备√2 →实数 方程可解性→复数 Hamilton四元数…… 复变函数 概念 复数的集合D，对于D内的每一个复数z=x+i y，按照某种法则，有一个或多个复数w=u+iv与之对应，称w是复变数z的函数，记作w=f(z). 例如：w=z2 注明：一个复变函数是由一对双元实函数所确定的 单值性和多值性 如果一个z对应于一个w，则称w=f(z)为单值函数； 如果一个z对应于多个w，则称w=f(z)为多值函数； w=Arg(z) w=arg(z) 例如：w=z2 w=Arg(z) w=arg(z) 复变函数的连续性 极限 连续 连续的判别 附近但不包括 边界的一小圆 连续性的判别 例1：判断以下函数的连续性