数学模型与数学题根.ppt

* 数学模型探究 对一道考题寻根 万老师数学 * 不管你自觉还是不自觉，数学解题总是按“模型”进行的. 数学模型 什么是数学模型呢？ 数学模型与数学知识的“模块”是什么关系？ 数学模型与数学解题的“模式”是什么关系？ 数学模型与数学出题的“题根”是什么关系？ 在数学学习与数学应试中，自觉地应用数学模型与不自觉地遭遇数学模型，其效果有什么不同？ 数学模型，可以从数学模块说起. * 考题为例 【原题】 已知圆 x2+y2=4上有且仅有四个点到直线12x -5y + c=0的距离为1，则实数c的取值范围是 . 三 角 和角式 三角平方式 振辐范围 值域判别式 向 量 数量积 单位向量 长度范围 模不等式 【等价】直线12x -5y + c=0与x2+y2=1相割. 这是从解析几何模型角度看问题，如果换个模型，则是另外的意义. 平 几 极 线 单位圆 极 点 极点判别式 数学模型 * 数学解题，总是从“数学模块” 的认定开始. 数学解题 先认模块 比如，面对如下的数学问题，首先得想：属哪个模块？ 【定位】 这是一个《直线与圆》的位置关系问题. 【考题】若直线 与圆 有公共点，则( ) A． B． C． D． 【模块】 须知，《直线与圆》是高中数学的一个知识模块. 数学模型 * 【操作】模块只是一种“认知”，而解题却是“操作”. 从“直线与圆有公共点”到“圆心到直线距离 不大于圆的半径” ——都没有进入操作. 先定模块 后定模式 【模式】操作按模式执行！本题的操作模式是“点线距离公式”. 数学模型 【考题】若直线 与圆 有公共点，则( ) A． B． C． D． * 入模求解 出模作答 【入模】设圆心（0，0）到直线 距离为d， 又圆半径 r =1 ，那么 【解模】 答 案. 数学模型 【考题】若直线 与 圆 有公共点 ， 的取值范围是___________. 则 * 依据模块 选择模式 【认知】模块提供解题依据，模式提供解题工具. 【点评】入模时还有“材料” x和y，出模只有“成品”a和b！ 【回顾】设圆心到直线的距离为d，又圆的半径 r =1 ，那么 数学模型 【考题】若直线 与 圆 有公共点 ， 的取值范围是___________. 则 * 模块先变 模式后变 【变块】两方程联立，模块变到“代数方程组”，消 y 得 【点评】模块离开了 “直线与圆”，模式将离开“点线距离公式”！ 一元二次方程 （a2+b2）x2 – 2ab2x + a2b2 - a2 = 0 （1） 【变式】令方程（1）的判别式不小于0，则进入模式： （– 2ab2）2 －（a2+b2）（ a2b2 - a2 ）≥0 数学模型 【考题】若直线 与 圆 有公共点 ， 的取值范围是___________. 则 * 不等式模块 放缩模式 【变模】模块变作“不等式”，模式变作“放缩法”： 【入模】 【解模】 数学模型 【考题】若直线 与 圆 有公共点 ， 的取值