整体把握数学思想方法在数学教学中的作用.ppt

我国高中数学教材中的微积分 §4 数学史上的四次思想解放 　　随机现象并不是杂乱无章的现象，就个体而言，似乎没有什么规律存在，但当同类现象大量出现时，从总体上却呈现出一种规律性，但是确定数学无法定量地揭示这种规律性。 确定数学的这种局限性并没有阻碍数学家的思考和寻求，一种专门适用于分析随机现象的数学工具也就成为十分必要的了。从而创立了随机数学——概率理论与数理统计。 二、随机数学的产生 概率和统计的历史可以追溯到遥远的古代，比如，在公元前2000年的埃及古墓中已有正方体的骰子，在古代的游戏与赌博活动中就有概率思想的雏型。但是概率论作为一门学科，则酝酿于16世纪前后的两百余年之间，产生于17世纪中期前后。 　　它的起源于赌博经的“点问题” 1653年夏天，法国著名数学、物理学家帕斯卡(1623－1662）前往埔埃托镇度假。旅途中，他遇到了骑士梅勒（M?re,1610～1685） 。梅勒是经常出没于赌场的“赌坛老手”。为了消除旅途的寂寞，梅勒吹嘘起“赌博经”，并向帕斯卡提出了一个十分有趣的“分赌注”的问题。 　　问题是这样的：一次，梅勒与其赌友掷骰子．每人押了32个金币的赌注，并约定，如果梅勒先掷出三个6点，或其赌友先掷出三个4点，便算赢家。 　　遗憾的是这场赌注不算小的赌博并未能顺利结束。当梅勒已掷出两次6点，其赌友掷出一次4点时，梅勒接到通知，要他马上陪同国王接见外宾。君命难违，但就此收回各自的赌注，又不甘心。他们只好按照已有的成绩分取这64个金币。这下可把他们难住了。赌友说，他要再碰上两次4点，或梅勒要再碰上一次6点就算赢了，所以他有权分得梅勒的一半，即64个金币的1/3。梅勒不同意这样分，他说，即使下次赌友掷出一个4点，他还可得赌金的1/2，即32个金币，再加上下次他还有一半希望得6点，这样又可分得16个金币，故他至少应得64个金币的3/4。谁是谁非，争论不休，其结局也就不得而知了。不过梅勒对于此事却一直耿耿于怀，所以当他一碰到帕斯卡就立即求教。 帕斯卡经过长时间的探索，还是不得要领。于是，在1654年，他不得不写信与他的好友费马讨论。向他提出一个赌博中的问题： “两个赌徒相约赌若干局，谁先赢s局就算胜了，现在有甲赢a(as)局，乙赢b（bs）局，赌博中止。问赌本应怎样分法才合理？” 这被看作是数学史上最早的概率论文献, 这个问题后来也就成为著名的“点问题”。 帕斯卡认为，按条件甲已赢两局，得2点； 乙只赢—局， 得1点。若再掷一次，则甲或者获全胜(应得赌金1=100%)；或与乙点数相等(应得赌金1/2)。把这两种情况平均一下，甲应得赌金的 乙应得赌金的 　　费马则认为，由于甲已得2点，乙已得1点，离赌博结束最多还要掷(s－a) + (s－b) －1 = 2次， 因此结果有四种可能情况： (甲、甲)；（甲、乙）；（乙、甲）；（乙、乙） 　　在前三种情况下都是甲赢，只有最后一种情况乙获胜。因此，甲有权分得赌金3/4，而乙只能分得赌金1/4。 　　后来， 帕斯卡在所著《论算术三角形》中给出了这一问题的通解： 　　令m = s－a , n = s－b，则甲、乙两人应得赌金之比为： 　 18世纪是概率论的正式形成和发展时期 1713年伯努利在《推想的艺术》中明确发现了概率论最重要的定律之一——“大数定律”。从此概率论从对特殊问题的求解，发展到了一般的理论概括。 之后，法国数学家棣莫弗在1718年发表的《机遇原理》一书中提出了概率乘法法则，以及“正态分布”和“正态分布律”的概念，为概率论的“中心极限定理”建立奠定了基础。  一、承认“无理数”是对“万物皆数”的思想解放 古希腊毕达哥拉斯学派集宗教、科学和哲学于一体，他们认为“数”是万物的本源， “数统治着宇宙”，支配着整个自然界和人类社会。他们所说的数是指整数。 分数的出现，使“数”不那样完整了。但分数都可以写成两个整数之比，所以他们的信仰没有动摇。万物皆数以数为一个价值尺度去解释自然，揭示了自然界的部分道理，可把数绝对化就不行了，就制约了人的思维。 希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事。它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解。使当时希腊数学家们深感不安，相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死，这就是第一次数学危机。 无理数的发现推翻了毕达哥拉斯等人的信条 。 该学派中一个叫希帕索斯的学生在研究 1与2的比例中项时，发现没有一个能用整数比