新题库--第八章 第03节： 双曲线.doc

双 曲 线 1．如图8-61，已知定圆F1：x2+y2+10x+24=0，定圆F2：x2+y2-10x+9=0，动圆M与定圆F1、F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程。 解：圆F1：(x+5)2+y2=1，∴圆心F1(-5, 0)，半径r1=1。 圆F2：(x-5)2+y2=42，∴圆心F2(5,0)，半径r2=4。 设动圆M的半径为R，则有|MF1|=R+1, |MF2|=R+4， ∴|MF2|-|MF1|=3. ∴M点轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线（左支），且a=, c=5. ∴双曲线方程为x2-y2=1 (x≤-) 2．在△MNG中，已知NG=4，当动点M满足条件sin∠G-sin∠N=sin∠M时，求动点M的轨迹方程。 解：以NG所在的直线为x轴，以线段NG的垂直平分线为y轴建立直角坐标系。∵sin∠G-sin∠N=sin∠M，∴由正弦定理，得|MN|-|MG|=×4。∴由双曲线的定义知，点M的轨迹是以N、G为焦点的双曲线的右支（除去与x轴的交点）。∴2c=4,2a=2,c=2,a=1. ∴b2=c2-a2=3.∴动点M的轨迹方程为x2-=1 (x0，且y≠0) 3．已知点A（，0）和B（，0），动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线y=x－2交于D、E两点，求线段DE的长． 解：设点C（x，y），则|CA|－|CB|=±2，根据双曲线的定义，可知点C的轨迹是双曲线=1. 由2a=2，2c=|AB|=2，得a2=1，b2=2. 故点C的轨迹方程是x2－=1由，得x2+4x－6=0. ∵Δ＞0，∴直线与双曲线有两个交点.设D（x1，y1）、E（x2，y2），则x1+x2=－4，x1x2=－6， 故|DE|=。 4．设点P到点M（－1，0）、N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2．求m的取值范围． 解：设点P的坐标为（x，y），依题设得=2，即y=±2x，x≠0 ① ∴点P（x，y）、M（－1，0）、N（1，0）三点不共线，得||PM|－|PN||＜|MN|=2. ∵||PM|－|PN||=2|m|＞0, ∴0＜|m|＜1, ∴点P在以M、N为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上。故 ② 将①式代入②， 并解得x2=. ∵1－m2＞0, ∴1－5m2＞0. 解得0＜|m|＜. 即m的取值范围为（－，0）∪（0，）。 解法二: 根据题意，从点P的轨迹着手. ∵ ||PM|-|PN||=2m, ∴ 点P轨迹为双曲线，方程为（|m|1） ① 又 y=±2x（x≠0） ②, ①，②联立得：. 将此式看成是关于x的二次函数式，下面求该二次函数值域，从而得到m 的取值范围。根据双曲线有界性：|x|m，x2m2∴ , ∵1－m2＞0, ∴1－5m2＞0 ∴ 且m≠0, ∴ ． 已知双曲线上两点P1、P2的坐标分别为(3, -4)，(, 5)。求双曲线标准方程。 解：若焦点在y轴上，所以设所求双曲线的标准方程为(a0, b0)。将P1(3, -4), P2 ( ,5) 代入方程得 令m=, n=，则方程组化为解得 即a2=16, b2=9。所以所求双曲线的标准方程为 若焦点在x轴上，所求方程为，依题意得此时无解。故所求双曲线的标准方程为 解法二：设所求曲线方程为 Ax2-By2=1 (AB0)， 由题意得解得 故所求双曲线方程为，即 ． 设双曲线的顶点是椭圆的焦点，该双曲线又与直线交于两点A、B，且OA⊥OB（O为原点）。 （1）求此双曲线方程； （2）求 |AB|。 解：（1）已知椭圆的焦点是(0,±1)，此即是双曲线的顶点，因此可设双曲线方程为y2-mx2=1 (m0) ①。又直线方程为 ②， 设A(x1,y1)、B(x2,y2),则A、B的坐标是方程①、②组成的方程组的两个解，由①、②消去常数项得36(y2-mx2)= ③. ∵、是方程③的两根，所以·=-。又由OA⊥OB知·=-1，∴-=-1解得m=, 代入 ① 得双曲线方程：y2-=1。 （2）设AB的中点为M(x0、y0)，则在Rt△ABO中，可知|AB|=2|OM|=2 ④。由于，两式相减得。∵A、B在直线上，∴，又∴ ⑤。 又点M(x0,y0)在直线上，∴ ⑥。由⑤、⑥解得x9=-y0=- 代入④得 |AB|=2=4。 ．双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于P，Q两点，若OP⊥OQ，|PQ|=4，求双曲线的方程。 解：设双曲线方程为=1，点P，Q的坐标满足方程组 将②代入①中，整理得 (5b2-3a2)x2+6a2cx-(3a2c2+5a2b2)=0 ③ 设方程