方志奇 微积分.ppt

课程简介 本课程的重要性 学习方法与要求 学习方法： 认真领会概念、定义的含义； 将“意”——函数等概念的抽象表示——和“形”——几何图形或函数图形——相结合； 通过解题来复习知识和锻炼思维能力； 善于总结经验，解决实际问题； 加强复习，温故而知新。 本学期主要授课内容 第一章 函数 第二章 极限与连续 第三章 导数与微分 第四章 中值定理、导数的应用 第五章 不定积分 参考书 《微积分》 朱来义（难） 《高等数学》 同济大学主编 高等教育出版社（难） 《微积分》 赵树源主编 （易） 《高等数学 一元函数微积分》华南理工大学出版社（易） 《微积分 导教 导学 导考》西北工业大学出版社（易） 一、函数的定义 注意 D≠Φ； D和f是确定函数的两个要素； 所谓一个函数已知，就是说确定这个函数的两要素是给定的，从而值域也是给定的； 判断两个函数是否相同时，只需比较它们的D和f是否相同即可； 对于一个函数而言，自变量和因变量用什么符号表示是无关的，只要对应关系不变就行。例如，记号y=f(x) (x∈D)和S=f(t) (t∈D)在数学上表现的是同一个函数f : D→Z； 注意 从几何图像上看：任何一条垂直于x轴的直线与函数的图形最多只能相交于一点。 1.公式法：用数学表达式所表示的一个函数，就称为函数的解析法，也就是公式法。 2.表格法：是一种把自变量所取的值和对应的函数值列成表，用以表示函数关系的方法。 3.图示法：用函数图像来表示函数。 4.分段函数表示法：定义域的不同子集合(多为子区间)上,分别用不同的数学表达式表示函数的方法。 5.隐函数表示法：函数的因变量与自变量的对 应规则用一个方程F(x, y)=0表示。 例如 3x+2y?5=0，sin(xy)?1=0，exy+x =0等 定义1.3 设ε为某个正数,称开区间(x0－ε,x0+ε)为点x0的ε邻域,简称为点x0的邻域;称x0为邻域的中心,ε为邻域的半径. 点 x0的邻域去掉中心x0后的集合 称为点x0的空心邻域或去心邻域;称开区(x0－ε,x0)为点x0的左邻域,(x0,x0+ε)为点x0的右邻域. 问题：什么是函数关系？由哪几个要素构成？ 是否函数关系？ 是否函数关系？ 是否相同的函数关系？ 是否相同的函数关系？ × × × × NEXT 定义1.4 设D为一个非空的实数集合,如果存在一个对应规则f,使得对任一x∈D,都能由f 唯一地确定一个实数y,则称对应法则f为定义在实数集合D上的一个函数.称D为函数f的定义域,x为自变量,y为因变量. §1.2 函数的概念 定义域D通常记为D(f ),当D为区间时,称D为定义区间. 全体实数值所构成的集合,称为函数的值域, 记为Z或Z (f ),即 Z=Z (f )={y |y=F (x) ,x ∈D (f)} y=f (x), x∈D( f ) 对应于任一自变量x∈ D( f ) 的函数值y记为 NEXT 注意 单值函数与多值函数 NEXT 例如： 称为单值函数 称为多值函数 从函数关系定义来说，只有单值函数满足函数关系的定义，多值函数不是严格意义上的函数关系。但有时我们也见到这样表示函数，要注意。 RETURN NEXT 二、函数的表示法 例如,绝对值函数: 符号函数: 取整函数: y=[x]=n , n≤[x]n+1,n=0,±1,±2,…±3,… 例1： 例2： 用分段函数表示 NEXT 二、函数的表示法 * * * * * * * * * * * 微积分 微积分学 （Calculus） 微分学(Differential Calculus) 积分学(Integral Calculus) 本课程是经济类和管理类本科生必修的数学基础课程 课程内容 一元函数微积分及其应用（中学已有接触） 多元函数微积分及其应用 无穷级数 常微分方程 真实世界 的现象 简化、抽象、翻译 数学模型、 公式、图表…… 求解模型 （在数学内部） 数学结论 解释说明 关于真实世界的理论 实验与观察 RETURN 数学不仅是一种工具，而且是一种思维模式；不仅是一种知识，而且是一种素养；不仅是一种科学，而且是一种文化。数学教育在培养高素质经济和管理人才中越来越显示出其独特的，不可替代的重要作用。 后继课程：线性代数，概率论与数理统计等 RETURN RETURN 教学进度表 第一章 函数 函数的概念 定义域 值域 对应关系（会求函数定义域和判定函数相等） 函数的三种表示方法、分段函数、隐函数（分段函数的函数值计算） 函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性及图形特点（会判定函数是否具有某种性质） 六类基本初等函数 定义域及图形特点