有理函数、三角函数及一些无理函数的不定积分.ppt

§有理函数、三角函数及一些无理函数的不定积分 1、 有理函数的积分 2、 三角函数有理式的积分 3、 无理函数的积分 一、有理函数的积分 二、三角函数有理式的积分 三、简单无理函数的积分 * * 两个多项式的商表示的函数. 假定分子与分母之间没有公因式 这有理函数是真分式； 这有理函数是假分式； 有理函数的定义： 利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式 和一个真分式之和. 由代数学定理: Q(x)=b0(x-a)? …(x-b)? (x2 +px+q)? …(x2+rx+s)? 难点 将有理函数化为最简分式之和. （1）分母中若有因式 ，则分解后为 有理函数化为部分分式之和的一般规律： 特殊地： 分解后为 （2）分母中若有因式 ，其中 则分解后为 特殊地： 分解后为 真分式化为部分分式之和的待定系数法 例1 代入特殊值来确定系数 取 取 取 并将 值代入 例2 例3 整理得 分解后的部分分式必须是最简分式. 例4 求积分 解 例5 求积分 解 说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况： 多项式； 讨论积分 令 这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数. 结论 有理函数的原函数都是初等函数. 三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为 （万能置换公式） 例7 求积分 解 由万能置换公式 例8 求积分 解（一） 解（二） 修改万能置换公式, 令 解（三） 可以不用万能置换公式. 结论 比较以上三种解法, 便知万能置换不一定是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考虑其它手段, 不得已才用万能置换. 例9 求积分 解 讨论类型 解决方法 作代换去掉根号. 例10 求积分 解 令 例11 求积分 解 令 说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数. 例12 求积分 解 先对分母进行有理化 原式