概念、方法、题型、易误点及应试技巧：解析几何.doc

平面解析几何（直线、圆和圆锥曲线） 一、曲线与方程 1．平面解析几何研究的主要问题： ①根据已知条件求出表示平面曲线的方程；②通过方程，研究平面曲线的性质 平面解析几何研究的方法——坐标法 2．“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义： 在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性） (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．（完备性） 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线 【定义的理解】设P={具有某种性质(或适合某种条件)的点}，Q={(x，y)| }，若设点M的坐标为(x0，y0)，则用集合的观点，上述定义中的两条可以表述为： 为曲线C的方程；曲线C为方程f(x，y)=0的曲线(图形)． 【练习】（1）已知曲线C上的点的坐标都是方程的解，下列命题正确的是 （ ） A、满足方程的点都在曲线C上 B、方程是曲线C上的方程 C、曲线C是满足方程的曲线 D、方程的曲线包含曲线C上的任意一点 （2） 命题“坐标满足方程的点都在曲线上”不正确，那么以下正确的命题是 A、曲线上的点的坐标都满足方程． B、坐标满足方程的点有些在上，有些不在上． C、坐标满足方程的点都不在曲线上． D、一定有不在曲线上的点，其坐标满足方程． 3．求曲线（动点轨迹）方程的一般步骤：　　　 　①建——建立适当的坐标系；　　　　 ②设——设曲线（轨迹）上的任一点；　③限——列出动点P所满足的限制条件； ④代——依条件的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x,y的方程式； 　⑤化——化简方程即为符合条件的动点轨迹方程。 4．几种常见求轨迹方程的方法 1．直接法：由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再把等式坐标化，得曲线的方程，这种方法叫直接法． 2．定义法：利用所学过的曲线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求利用平面几何知识分析得出这些条件． 3．相关点法：若动点随已知曲线上的点的变动而变动，且可用表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程．这种方法称为相关点法(转移代入法)． 4．待定系数法：已知曲线类型常用待定系数法． 5.参数法：若动点的坐标x与y之间的关系不易直接找到，而动点变化受到另一变量的制约，则可求出x、y关于另一变量的方程，然后消去参数，得到间的直接关系式，即得到所求轨迹方程. 【练习】 （1）△ABC一边的两个端点是B(0，6)和C(0，-6)，另两边斜率的积是，求顶点A的轨迹方程 （2）线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0），端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为 （答：）；　 （3）由动点P向圆作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=600，则动点P的轨迹方程为 （答：）； （4）点M与点F(4,0)的距离比它到直线的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______ （答：）； （5） 一动圆与两圆⊙M：和⊙N：都外切，则动圆圆心的轨迹为 （答：双曲线的一支）； （6）动点P是抛物线上任一点，定点为,点M分所成的比为2，则M的轨迹方程为__________（答：）； （7）若点在圆上运动，则点的轨迹方程是____（答：）； （8）过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是________（答：）； 【注意】曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响. 二、直线 1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。当直线与轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围。 【练习】 （1）直线的倾斜角的范围是____（答：）； （2）过点的直线的倾斜角的范围值的范围是______ （答：） 2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率，即＝tan(≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；如两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件（答：既不充分也不必要）； （2）斜率公式：经过两点、的直线的斜率为； （3）直线的方向向量，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？ 【练习】 （1）实数满足 ()，则的最大值、最小值分别为______（答：） （2）已知点A（—2，4），B（4，2），且直线与线段AB恒相交，则的取值范围是____