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第三节 频率与概率 一、频率的定义与性质 二、概率的定义与性质 三、小结 柯尔莫哥洛夫资料 一、频率的定义与性质 二、概率的定义与性质 三、小结 1. 定义 2. 性质 设 A 是随机试验 E 的任一事件, 则 试验 序号 1 2 3 4 5 6 7 2 3 1 5 1 2 4 22 25 21 25 24 18 27 251 249 256 247 251 262 258 0.4 0.6 0.2 1.0 0.2 0.4 0.8 0.44 0.50 0.42 0.48 0.36 0.54 0.502 0.498 0.512 0.494 0.524 0.516 0.50 0.502 实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做 7 遍, 观察正面出现的次数及频率. 波动最小 随n的增大, 频率 f 呈现出稳定性 从上述数据可得 (2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅度较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性.即当 n 逐渐增大时频率 f 总是在 0.5 附近摆动, 且逐渐稳定于 0.5. (1) 频率有随机波动性,即对于同样的 n, 所得的 f 不一定相同; 实验者 德 摩根 蒲 丰 2048 1061 0.5181 4040 2048 0.5069 12000 6019 0.5016 24000 12012 0.5005 我们再来看一个验证频率稳定性的著名实验 高尔顿(Galton)板试验. 试验模型如下所示: 　　自上端放入一小球,任其自 由下落,在下落过程中当小球碰 到钉子时,从左边落下与从右边 落下的机会相等.碰到下一排钉 子时又是如此.最后落入底板中 的某一格子.因此,任意放入一球, 则此球落入哪一个格子,预先难以确定.但是如果放入大量小球,则其最后所呈现的曲线,几乎总是一样的. 单击图形播放/暂停　ESC键退出 请看动画演示 重要结论 　　频率当 n 较小时波动幅度比较大，当 n 逐渐增 大时 ， 频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映 了事件在试验中出现可能性的大小．它就是事件的 概率． 1933年 ，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构 ，给出了概率的严格定义 ，使概率论有了迅速的发展. 柯尔莫哥洛夫资料 概率的可列可加性 1. 概率的定义 证明 由概率的可列可加性得 2. 性质 概率的有限可加性 证明 由概率的可列可加性得 证明 证明 证明 证明 由图可得 又由性质 3 得 因此得 推广 三个事件和的情况 n 个事件和的情况 解 S A B AB 例2 已知 求： (1) (2) (3) (4) 解：显然 是两两互不相容的事件，且 例3 观察某地区未来5天的天气情况，记 为事件“共有 天不下雨”， 求下列各事件的概率； （1）5天均下雨； （2）至少1天下雨； （3）至多3天不下雨. 设(1),(2),(3)中的三个事件分别为A,B,C,则 解：设A=“订阅A报”，B=“订阅B报” C=“只订1种报纸”,则 例5 某城市中发行2种报纸A,B.经调查，在这2种报纸的订户中，订阅A报的有45%，订阅B报的有35%。同时订阅2种报纸A,B的有10%,求只订1种报纸的概率 。 由加法公式及减法公式有