概率论 的第二章复习提纲.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * §2.7 分布的其它特征数 矩、变异系数、分位数、中位数 偏度系数、峰度系数 2.7.1 k 阶原点矩和中心矩 k 阶原点矩：?k = E(Xk) ， k = 1, 2, …. 注意: ?1 = E(X). k 阶中心矩：?k = E[X?E(X)]k ， k = 1, 2, …. 注意: ?2 = Var(X). 定义2.7.1 中心矩和原点矩的关系： 2.7.2 变异系数 定义2.7.2 为 X 的变异系数. 作用： 称 CV 是无量纲的量, 用于比较量纲不同的两个随机变量的波动大小. 2.7.3 分位数 P( X ? xp ) = F(xp) = p 定义2.7.3 设 0 p 1， 若 xp 满足 则称 xp 为此分布 p - 分位数， 亦称 xp 为下侧 p - 分位数. 2.7.5 偏度系数 设随机变量X的前三阶矩存在，则比值 称为X的偏度系数，简称偏度。 当偏度为正时，称为正偏或右偏，重尾在右侧； 当偏度为负时，称为负偏或左偏，重尾在左侧。 2.7.6 峰度系数 设随机变量X的前四阶矩存在，则如下比值-3 称为X的峰度系数，简称峰度。 当峰度为正时，标准化后的分布比标准正态分布 更尖峭，尾部更粗； 当峰度为负时，标准化后的分布比标准正态分布 更平坦，尾部更细。 1，设随机变量X的绝对值不大于1，P（X= - 1）=1/8， P（X=1）=1/4，在事件（-1X1）出现的条件下， X在(-1,1)内的任一子区间上取值的条件概率与 该子区间长度成正比，试求： （1）X的分布函数； （2）X取负值的概率。 2，设一部机器在一天内发生故障的概率为 0.2， 机器发生故障时全天停止工作。一周五个工作 日，若无故障发生，可获利10万元；发生一次 故障仍可获利5万元；若发生两次故障获利0万 元；若发生三次及以上故障就要亏损 2万元。 求一周内利润的期望。 3，设随机变量X在区间上服从均匀分布， 求Y的方差。 4，设随机变量X的分布函数F(x)严格单调且连续， 求Y= - 2lnF(X)的概率分布密度函数. 5，一点随机地落在以原点为中心的、以R为半径的 圆周上，并且对弧长是均匀分布的，求这点的横 坐标X的概率密度。 * * * * * * * * * * * * * * * * 概率论 主讲：于红香 概率论 第二章复习提纲 定义设X为一个随机变量，对任意实数 x， 称 F(x)=P( X? x) 为 X 的分布函数. 基本性质： (1) F(x) 单调不降； (2) 有界：0?F(x)?1， F(??)=0，F(+?)=1； (3) 右连续. 随机变量的分布函数 离散随机变量的分布列 设离散随机变量 X 的可能取值为： x1，x2，……，xn，…… 称 pi=P(X=xi)， i =1, 2, …… 为 X 的分布列. 分布列也可用表格形式表示： X x1 x2 …… xn …… P p1 p2 …… pn …… 分布列的基本性质 (1) pi ? 0， (2) (正则性) (非负性) 定义 设随机变量X 的分布函数为F(x), 则称 X 为连续随机变量， 若存在非负可积函数 p(x) ，满足： 称 p(x)为概率密度函数，简称密度函数. 连续随机变量的密度函数 密度函数的基本性质 满足(1) (2)的函数都可以看成某个连续随机变量的概率密度函数. (非负性) (正则性) 连续型 密度函数 X ~ p(x) ( 不唯一 ) 2. 4. P(X=a) = 0 离散型 分布列: pn = P(X=xn) ( 唯一 ) 2. F(x) = 3. F(a+0) = F(a); P(aX?b) = F(b)?F(a). 4. 点点计较 5. F(x)为阶梯函数。 5. F(x)为连续函数。 F(a?0) = F(a). F(a?0) ? F(a). 数学期望的定义 定义设离散随机变量X的分布列为 P(X=xn) = pn, n = 1, 2, ... 若级数 绝对收敛，则称该级数为X