概率论-1-03,4.ppt

第三节 频率与概率 一、频率的定义与性质 二、概率的定义与性质 三、小结 第四节 等可能概型(古典概型) 一、等可能概型(古典概型) 二、典型例题 三、几何概型 四、小结 例3 在1~2000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被6整除, 又不能被8整除的概率是多少 ? 设 A 为事件“取到的数能被6整除”,B为事件 “取到的数能被8整除”，则所求概率为 解 于是所求概率为 例4 将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中 去,这15名新生中有3名是优秀生.问 (1) 每一个班 级各分配到一名优秀生的概率是多少? (2) 3 名优 秀生分配在同一个班级的概率是多少? 解 15名新生平均分配到三个班级中的分法总数: (1) 每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有 因此所求概率为 (2)将3名优秀生分配在同一个班级的分法共有3种, 对于每一种分法,其余12名新生的分法有 因此3名优秀生分配在同一个班级的分法共有 因此所求概率为 例5 某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知 所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的,问是 否可以推断接待时间是有规定的. 假设接待站的接待时间没有 规定,且各来访者在一周的任一天 中去接待站是等可能的. 解 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 1 2 3 4 12 7 7 7 7 7 故一周内接待 12 次来访共有 小概率事件在实际中几乎是不可能发生的 , 从而可知接待时间是有规定的. 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 周二 周四 1 2 3 4 12 2 2 2 2 2 12 次接待都是在周二和周四进行的共有 故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为 例6 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天 是等可能的 , 即都等于 1/365 ,求 64 个人中至少 有2人生日相同的概率. 64 个人生日各不相同的概率为 故64 个人中至少有2人生日相同的概率为 解 说明 定义 当随机试验的样本空间是某个区域，并且任意一点落在度量 (长度、 面积、体积) 相同的子区域是等可能的，则事件 A 的概率可定义为 说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时, 就归结为几何概型. * 一、频率的定义与性质 二、概率的定义与性质 三、小结 1. 定义 2. 性质 设 A 是随机试验 E 的任一事件, 则 试验 序号 1 2 3 4 5 6 7 2 3 1 5 1 2 4 22 25 21 25 24 18 27 251 249 256 247 251 262 258 0.4 0.6 0.2 1.0 0.2 0.4 0.8 0.44 0.50 0.42 0.48 0.36 0.54 0.502 0.498 0.512 0.494 0.524 0.516 0.50 0.502 实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做 7 遍, 观察正面出现的次数及频率. 波动最小 随n的增大, 频率 f 呈现出稳定性 从上述数据可得 (2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅度较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性.即当 n 逐渐增大时频率 f 总是在 0.5 附近摆动, 且逐渐稳定于 0.5. (1) 频率有随机波动性,即对于同样的 n, 所得的 f 不一定相同; 实验者 德 摩根 蒲 丰 2048 1061 0.5181 4040 2048 0.5069 12000 6019 0.5016 24000 12012 0.5005 我们再来看一个验证频率稳定性的著名实验 高尔顿(Galton)板试验. 试验模型如下所示: 　　自上端放入一小球,任其自 由下落,在下落过程中当小球碰 到钉子时,从左边落下与从右边 落下的机会相等.碰到下一排钉 子时又是如此.最后落入底板中 的某一格子.因此,任意放入一球, 则此球落入哪一个格子,预先难以确定.但是如果放入大量小球,则其最后所呈现的曲线,几乎总是一样的. 重要结论 　　频率当 n 较小时波动幅度比较大，当 n 逐渐增 大时 ， 频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映 了事件在试验中出现可能性的大小．它就是事件的 概率． 1933年 ，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构 ，给出了概率的严格定义 ，使概率论有了迅速的发展. 概率的可列可加性 1. 概率的定义 证明 由概率的可列可加性得 2. 性质 概率的有限可加性 证明 由概率的可列可加性得 证明 证明 证明 证明 由图可得 又由性质 3 得 因此得 推广 三个事件和的情况 n 个事件和的情况 解 S A B