概率论与数理统计-湖南大学概要.ppt

* * * 30人 (1) (2) (3) (2) 解法二 (“3名运动员集中在一个组”相当于 “取一组有3名运动员,7名普通队员,其余两组分配剩余的20名普通队员.) 答:每组有一名运动员的概率为50/203; 3名运动员集中在一个组的概率为18/203. 4、随机取数问题 例4、从1到200这200个自然数中任取一个, (1) 求取到的数能被6整除的概率 (2) 求取到的数能被8整除的概率 (3) 求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率 解: N(Ω)=200, N(3)=[200/24]=8 N(1)=[200/6]=33, N(2)=[200/8]=25 (1),(2),(3)的概率分别:33/200,1/8,1/25 52张扑克平均分发给甲、乙、丙、丁4个人，求 (1)甲拿到4个A的概率 (2)4个A在一个人手上的概率。 (3)每人手上都有A的概率。 1） 频率的定义和性质 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验， 在这 n 次试验中，事件 A 发生的次数 nA 称为 事件 A 发生的频数。比值 n A / n 称为事件 A 发生的频率，并记成 fn(A) 。 二、频率与概率 历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。 实 验 者 德?摩根 蒲 丰 K ?皮尔逊 K ?皮尔逊 n nH fn(H) 2048 4040 12000 24000 1061 2048 6019 12012 0.5181 0.5096 0.5016 0.5005 实践证明：当试验次数n增大时， fn(A) 逐渐 趋向 一个稳定值。可将此稳定值记作P(A) 作为事件A 的概率。 可以验证它具有下述性质: 三、概率的公理化定义 注意到不论是对概率的直观理解，还是频率定义方式，作为事件的概率，都应具有前述三条基本性质，在数学上，我们就可以从这些性质出发，给出概率的公理化定义。 定义 若对随机试验E所对应的样本空间?中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数 P(A) 满足条件: (1) 1≥ P(A)≥0； (2) P(?)＝1； (3) 完全可加性：设A1，A2，…, 是一列两两 互不相容的事件，即AiAj＝?，(i?j), i , j＝1, 2, …, 有 P( A1 ? A2 ? … )＝ P(A1) ＋P(A2)+…. (1.1) 则称P(A)为事件A的概率。 四、概率的性质 ? A ? B A 注意： ? A B 重要推广 例1、 小王参加“智力大冲浪”游戏, 他能答出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 求小王 解 事件A , B分别表示“能答出甲,乙类问题” (1) (1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率； (2) 至少有一类问题能答出的概率； (3) 两类问题都答不出的概率。 (2) (3) 问题？ 例1 中小王他能答出第一类问题的概率为0.7, 答出第二类问题的概率为0.2, 两类问题都能答出 的概率为0.1. 为什么不是 ？ 若是的话, 则应有 而现在题中并未给出这一条件. 在第4节中将告诉我们上述等式成立的条件 是 ：事件 相互独立. 例2、 设A , B满足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在何条 件下， P(AB) 取得最大(小)值？最大(小)值是多少？ 解 最小值在 时取得 ——最小值 ——最大值 最大值在 时取得 最小值是否正确？ 例2 中回答当 时, 取得 这相当于问如下命题是否成立 答：不成立 ！ 问题？ 已知 P ( A ) = P ( B ) = P(C) = 1/4 , P(AB) = 0 , P(AC) = P(BC) = 1/6 则事件A，B，C 全不发生的概率为 . （此题是1992年考研填空题） 问 题 通过做此题 你能发现什么问题？ 由题设得 另一方面又可得 于是得矛盾 若将条件修改为 P(AC) = P(BC) = 1/9 便无矛盾 * * * * * * * * * * * * * * 利用事件关系和运算表