概率论教程概要.ppt

在自然界和现实生活中，一些事物都是相互联系和不断发展的。在它们彼此间的联系和发展中，根据它们是否有必然的因果联系，可以分成截然不同的两大类： 概率论——是根据大量同类随机现象的统计规律，对随机现象出现某一结果的可能性作出一种客观的科学判断，对这种出现的可能性大小做出数量上的描述；比较这些可能性的大小、研究它们之间的联系，从而形成一整套数学理论和方法。 数理统计——是应用概率的理论来研究大量随机现象的规律性；对通过科学安排的一定数量的实验所得到的统计方法给出严格的理论证明；并判定各种方法应用的条件以及方法、公式、结论的可靠程度和局限性。使我们能从一组样本来判定是否能以相当大的概率来保证某一判断是正确的，并可以控制发生错误的概率。 一、随机试验(简称“试验”)和样本空间 2、样本空间 二、随机事件 一、古典概型 三、概率的公理化定义 可以验证它具有下述性质: 注意到不论是对概率的直观理解，还是频率定义方式，作为事件的概率，都应具有前述三条基本性质，在数学上，我们就可以从这些性质出发，给出概率的公理化定义。 定义 若对随机试验E所对应的样本空间?中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数 P(A) 满足条件: (1) 1≥ P(A)≥0； (2) P(?)＝1； (3) 完全可加性：设A1，A2，…, 是一列两两 互不相容的事件，即AiAj＝?，(i?j), i , j＝1, 2, …, 有 P( A1 ? A2 ? … )＝ P(A1) ＋P(A2)+…. (1.1) 则称P(A)为事件A的概率。 四、概率的性质 ? A ? B A 注意： ? A B 重要推广 例1、 小王参加“智力大冲浪”游戏, 他能答出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 求小王 解 事件A , B分别表示“能答出甲,乙类问题” (1) (1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率； (2) 至少有一类问题能答出的概率； (3) 两类问题都答不出的概率。 (2) (3) 问题？ 例1 中小王他能答出第一类问题的概率为0.7, 答出第二类问题的概率为0.2, 两类问题都能答出 的概率为0.1. 为什么不是 ？ 若是的话, 则应有 而现在题中并未给出这一条件. 在第4节中将告诉我们上述等式成立的条件 是 ：事件 相互独立. 设Ω＝{ω1, ω2 , … , ωn };由古典概型的等可能性，得 }. { } { } { =P P P L = = ω1 ω2 ωn 又由于基本事件两两互不相容；所以 若事件 A 包含 k 个基本事件，即 A ={ω1, ω2 , … ωk }, 则有 ： (1) (非负性) 0? P(A) ??1； (2) (规范性) P(?)＝1； P(? )=0 (3) (可加性) AB＝?, 则 P( A? B )＝ P(A) ＋P(B) 容易验证古典概型中的概率具有如下性质 例 将一枚硬币抛掷三次。设： ? 事件 A1为“恰有一次出现正面”， ? 事件 A2为“至少有一次出现正面”， 求 P (A1 ), P (A2 )。 解：根据上一节的记号，E 的样本空间 Ω = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH,TTT}, n = 8，即 Ω 中包含有限个元素，且由对称性 知每个基本事件发生的可能性相同，属于古典概 型。 ? A1为“恰有一次出现正面” A1={HTT, THT, TTH}, ? 事件 A2为“至少有一次出现正面”， A2={HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH } 古典概型的几类基本问题 乘法公式：设完成一件事需分两步，第一步有n1种方法,第二步有n2种方法，则完成这件事共有n1n2种方法 复习：排列与组合的基本概念 加法公式：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共有n1+n2种方法。 有重复排列：从含有n个元素的集合中随机 抽取k 次，每次取一个，记录其结果后放回， 将记录结果排成一列， n n n n 共有nk种排列方式. 无重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽 取k 次，每次取一个，取后不放回，将所取元 素排成一列， 共有Ank=n(n-1)…(n-k+1)种排列方式