4.2.2导数的实际应用hao.ppt

1.3.3 导数的实际应用 寻乌二中 解:（1）首先写出V关于x的函数解析式.根据题意可 得 V=f（x）=（48-2x）2x. 由实际情况可知函数的定义域为｛x︳0x24｝. 根据导数公式表及求导法则，可得 [分析]　根据题意，月收入＝月产量×单价＝px，月利润＝月收入－成本＝px－(50000＋200x)(x≥0)，列出函数关系式建立数学模型后再利用导数求最大值． 答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元． [点评]　建立数学模型后，注意找准函数的定义域，这是此类题解答过程中极易出错的地方． 练习：已知某厂每天生产x件产品的成本为 若要使平均成本最低，则每天应生产多少件产品？ 解：设平均成本为y元，每天生产x件产品，则 ∴每天应生产1000件产品 练习：已知某厂每天生产x件产品的成本为 变题：若受到设备的影响，该厂每天至多只能生产800件 产品，则要使平均成本最低，每天应生产多少件产品呢？ 解：设平均成本为y元，每天生产x件产品，则 练习：已知某厂每天生产x件产品的成本为 变题：若受到产能的影响，该厂每天至多只能生产800件 产品，则要使平均成本最低，每天应生产多少件产品呢？ ∴函数在(0，1000)上是减函数 故每天应生产800件产品 例2．横截面为矩形的横梁的强度同它的断面高的平方与宽的积成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽度和高度应是多少？ 解：如图，设断面的宽为x，高为h，则h2=d2－x2， 横梁的强度函数f(x)=kxh2(k为强度系数, k0)， 所以f(x)=kx(d2－x2)，0xd， 在开区间(0，d)内， 令f ’(x)=k(d2－3x2)=0， 解得x=± d， 其中负根没有意义，舍去. 当0x d时，f ’(x)0，当 dxd时，f ’(x)0， 因此在区间(0，d)内只有一个极大值点x= d，所以f(x)在x= d取得最大值， * * * * * * 广东省阳江市第一中学周如钢 亿万 例2 例2答案 例2答案 复习：如何用导数来求函数的最值？ 一般地，若函数y=f (x)在[a，b]上的图象是一条 连续不断的曲线，则求f (x) 的最值的步骤是： （1）求y=f (x)在[a，b]内的极值(极大值与极小值)； （2）将函数的各极值与端点处的函数值f (a)、f (b) 比较， 其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 特别地，如果函数在给定区间内只有一个极值点， 则这个极值一定是最值。 解决优化问题的方法： 首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具． 解决数学模型 作答 用函数表示的数学问题 优化问题 用导数解决数学问题 优化问题的答案 利用导数解决优化问题的基本思路： 建立数学模型 例5：如图,一边长为48cm的正方形铁皮，四角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，做 成一个无盖的长方体容器， 所得容器的容积V（单位：cm3） 是关于截去的小正方形的边长x （单位:cm）的函数. (1)随着x的变化，容积V是如何变化的？ (2)截去的小正方形的边长为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？ 根据x1=8，x2=24列表，分析导函数的符号得到函数的单调性与极值点 极大值 V＝f(x) － 0 ＋ f′(x) (8，24) 8 (0，8) x x=8是函数的极大值点，相应极大值为 V=f(8)=(48-16)2×8=8192(cm3). 根据对函数变化规律的讨论可知： 当0x≤8时，函数V=f(x)是增加的；当8≤x＜24时V=f(x)是减少的. （2）区间（0,24）上任意点的函数值都不超过f(8),因此x=8是函数的最大值点.此时 V=f(8)=8192(cm3) 即当截去的小正方形的边长为8cm时，得到的容器容积最大，最大容积为8192cm3. 2、若函数 f ( x )在定义域内只有一个极值点x0 ，则不需与端点比较， f ( x0 )即是所求的最大值或最小值. 说明 1、设出变量找出函数关系式； (所说区间的也适用于开区间或无穷区间) 确定出定义域； 所得结果符合问题的实际意义 体积问题：例:某种圆柱形的饮料罐的容积V一定时,如何确定它的高与底半径,使得所用材料最省? R h 解 设圆柱的高为h,底面半径为R. 则表面积为 S(R)=2πRh+2πR2. 又V=πR2h