20北京版小五奥数教材课程二十、二进制的应用.docVIP

课程二十 二进制的应用 1.二进制的特性 2.二进制的运算 3. 二进制与十进制的关系 进位制的基本原理 （1）十进制 我们通过对通常用的“十进制”的进一步认识，推广到 其它非十进制，概括出进位制原理。 （2）十进制计数法，只用十个数码；0，1，2，3，4，5，6，7，8，9。 它是“位值制”计数法。 （即同一个数码，在不同位置上表示不同的数值），如246的百位上的 2表示200，十位上的数码4表示40，个位上的数码6表示6，即 246＝200＋40＋6＝2×102＋4×10＋6 一般来说，任何一个十进制数，都可以用各位数码（共十个数码）与 10的方幂乘积的和来表示，其中幂指数比相应数码所在的位数（从右往左 数）少1。如 356842（10）＝300000＋50000＋6000＋800＋40＋2 ＝3×105＋5×104＋6×103＋8×102＋4×101＋2×100 （1）十进制数356842（10）下标（10），是为了和其他进位制区别开。 （2）356842（10）是“位值制“，一般第二步可省略不写，可按法则 直接写成与10的方幂的乘积的和的形式。 （3）十位制值数，要“满十进一”. 二进制类比十进制数来认识二进制数，注意相同点和不同点。二进制 记忆法；只用两个数码，即“0”和“1”。二进制数也是“位值制”计数法， 低位向高位进位要“满二进一”。 如1＋1＝10，10＋1＝11，11＋1＝100，100＋1＝101，101＋1＝110， 110＋1＝111，111＋1＝1000等等。 十进制数和二进制数对照表如下： 十位进制 1 2 3 4 5 6 7 8 …… 二进制数 1 10 11 100 101 110 111 1000 …… 二进制数也可以表示成“以2为底的方幂的乘积的和的形式，例如: 10（2）=1×2,11（2）=1×2+1×20=2+1,100（2）=1×22+0×2+0×20=22,101（2）=1×22+0×2+1×20=22+1 一般来说，任何一个二进制数，就是各位数码与2的方幂的乘积的和。 其中幂指数等于相应数码所在位数（从右往左数）减1。 因为“1”乘任何数仍得那个数，其因数1可以省略不写，又因为“0” 乘任何数仍得“0”,这零项也可以省略不写。例如 101101（2）＝25＋23＋22＋1 在现实生活和记数器中，如果表示数的“器件”只有两种状态，如电 灯的“亮”和“灭”，开关的“开”与“关”，一种状态表示数码0，另一种 状态表示数码1，1加1应该等于2，因为没有数码2，只能向上一个数位 进一，就是采用“满二进一”的原则。 二进制的特性 什么是二进制 只有数码0，1，采用“满二进一”原则的进位制记数法叫做二进制。如： 0，0＋1＝1，1＋1＝10，10＋1＝11，11＋1＝100，… 可见二进制的10表示二，100表示四，1000表示八，10000表示十六，…。 二进制的含义 我们知道十进制中有： ＝an×10n+an-1×10n-1+…+a1×10+a0 同样二进制中有： ＝an×2n+an-1×2n-1+…＋a1×2＋a0 于是11111（2）＝1×24＋1×23＋1×22＋1×2＋1＝31（10）推广为P进制中任何数都可表示为： ＝an×Pn+ a（n-1）×Pn-1+…＋a1×P＋a0（0≤ai≤P－1） 由此可将P进制中的任何一个数化为十进制中相应的数。 二进制的运算 二进制的四则运算 ①加法：从低位到高位依次运算，“满二进一”，同一数字上只有四种情况：0＋0＝0，0＋1＝1，1＋0＝1，1＋1＝10 ②减法：先把数字对齐，同一数位不够减时，从高一位借位，“借一当二”。 ③乘法：乘法口诀为：零零得零，一零得零，一一得一。 ④除法:每一次商数非0则1。 ⑤二进制的四则运算类似于十进制的四则运算，同样有各种运算律，如加法的交换律和结合律，乘法的交换律和结合律以及乘法对加法的分配律。 二进制与十进制的关系 二进制和十进制的互化 1.二进制数化为十进制数 利用＝an×2n+an-1×2n-1+…＋a1×2＋a0即可。 2.十进制数化为二进制数 用短除法，把十进数连续除以2，把所得的余数从右到左排列起来的数即为二进制数。 例1 二进制加法： （1）10110＋1101 （2）1110＋101011 （3）101＋1101＋1110 分析与解法 （1）10110 +） 1101 100011 ∴10110＋1101＝100011 （2） 1110 +） 101011 111001 （3）101+1101+1110=10010+1110=100000-) 11110 10111 ∴110101-1110=10111 （