复变函数14 复球面与无穷远点.doc

§1.4 复球面与无穷远点 复球面 复数还有一种几何表示法，它是借用地图制图学中将地球投影到平面上的测地投影法，建立复平面与球面上的点的对应，着重说明引入无穷远点的合理性. 取一个在原点与平面相切的球面，通过点作一垂直于平面的直线与球面交于点，称为北极，称为南极（图1.20）.现在用直线段将与平面上一点相连，此线段交球面于一点，这样就建立起球面上的点（不包括北极点）与复平面上的点间的一一对应. 考虑平面上一个以原点为中心的圆周，在球面上对应的也是一个圆周（即是纬线）.当圆周的半径越大时，圆周就越趋于北极. 因此，北极可以看成是与平面上的一个模为无穷大的假想点相对应，这个假想点称为无穷远点，并记为. 复平面加上点后称为扩充复平面，与它对应的就是整个球面，称为复球面.简单说来，扩充复平面的一个几何模型就是复球面. 关于新“数” （读着无穷）还需作如下几点规定： 运算无意义； 时，； （但可为时），； 的实部、虚部及辅角都无意义，. 复平面上每一条直线都通过点，同时，没有一个半平面包含点. 2. 扩充复平面上的几个概念 (1) 扩充复平面上，无穷远点的邻域（对比定义1.1）应理解为以原点为心的某圆周的外部，即 的领域是指合于条件的点集.对比定义1.2及定义1.3，在扩充复平面上，聚点、内点和边界点等概念均可以推广到点.于是，复平面以为其唯一的边界点；扩充复平面以为内点，且它是唯一的无边界的区域. 任一简单曲线，将扩充平面分为两个不相连接的区域，一个是有界区域另一个是无界区域，它们都以为边界（约当定理）. (2) 单连通区域的概念也可以推广到扩充复平面上的区域.对比定义1.11，我们有定义：设为扩充复平面上的区域，若在内无论怎样画简单闭曲线，其内部或外部（包含无穷远点）仍全含于，则称为单连通区域. 注意 在扩充复平面上，一个圆周的外部（这里把算作这个区域的内点）就是一个单连通区域.所以，一个无界区域，考虑它是否单连通，首先要考虑是在通常的复平面上还是在扩充复平面上讲的（在扩充复平面上时，还要问是否算在这个区域内）. 注 如在无界区域的边界上，也就是区域的边界曲线延伸到，则不论在通常复平面上还是在扩充复平面上，区域是否为单连通必定是一致的.例1.18的半平面及例1.20的带形区域就总是单连通的. （3）在扩充复平面上，点可以包含在函数的定义域中，函数值也可以取到.因此，函数的极限与连续性的概念可以有所推广.在关系式中，如果及之一或者它们同时取，就称在点为广义连续的，极限称为广义极限.在这种广义的意义下，极限和连续性的说法要相应修改. 例如，在时，在连续的说法应该修改为： 任给存在，只要时就有 例1.29 函数在扩充平面上广义连续。 证 因为在及时，作为两个连续函数的商是连续的.而在及的连续性可以根据下式得出 注 以后涉及扩充复平面时，一定强调“扩充”二字，凡是没有强调的地方，均指通常的复平面；以后提到区域及其连通性时，如不加说明，都将限于通常复平面上来考虑；以后提到极限、连续时，如不加说明，均按通常意义理解. §1. 复数 第 3 页 共 3 页 图1.20