三角函数的微分.PPT

第九講 三角函數的微分 本講次學習目標 認識三角函數 瞭解三角函數之極限與連續 三角函數之導函數 有關三角函數之極值問題 § 9-1 三角函數 正銳角θ的正弦、餘弦、正切、餘切、 正割與餘割定義為直角三角形之邊的比。 利用圖9-1，這些三角函數之定義的形式 為： 註：三角函數的值僅僅與θ的大小有關，而與斜邊 r 的大小無關。 例題 1： 已知 ，且θ為銳角，求θ角的其他三角 函數值。 解： 由 , 可得圖9-2 因直角三角形不可能有大於 90° 的角，故假使θ為鈍角， 則上述定義中的三角函數不適用。欲獲得適合所有角θ的 三角函數的定義，我們取下列的方法： 在 xy-平面上讓θ角位於標準位置，然後作出圓心在原點 且半徑為 r 的圓，令該角的終邊與圓的交點為 P(x , y)， 如圖9-3 所示： 因此，我們給出下面的定義： 定義9-1 適合所有的角─正角(即，逆時鐘方向的角)、負 角(即，順時鐘方向的角)、銳角與鈍角。若θ的終邊在 y-軸上，則 tanθ與 secθ無定義(因 x = 0)，而若θ的終 邊在 x-軸上，則 cotθ與 cscθ無定義(因 y = 0)。 由於 r 恒為正，故θ角之三角函數的正、負號與所 在象限有關，今列表如下： 例題 2： 已知 ，求θ的各三角函數值。 解： 因 , 故θ在第三象限內. 設θ的終邊上一點為 P(x , y) , 則 令 x = -3 , 可得 , 故 y = -1 由畢氏定理知 , 如圖9-4 所示： 在微積分裡，角是用弧度(或弳)來度量而不是用度、 分與秒來度量，因它簡化了許多重要的公式。 下面列舉一些常用的三角公式： 在微積分裡，角的大小通常用弧度表示，例如，sin 3 表示 3 弧度的正弦函數值。因此，我們列出六個三角 函數的定義域與值域及其圖形，如圖9-5 所示： 由上述六個三角函數的圖形中，可得下列三個重 要的結果： 例題 3： 試求 f (x) = 3sin 2x 之定義域與值域。 解： 因正弦函數之定義域為 , 值域為 故 f (x) = 3sin 2x 之定義域為 , 值域為 (因函數值為 sin 2x 的 3 倍) 例題 4： 試求 之週期。 解： 令 , 則 故 週期為π 例題 5： 試求 之週期。 解： 令 , 則 故 週期為 例題 6： 作函數 y = sin 2x 的圖形。 解： 此函數的週期為 。所以，當 x 以π改變時， y = sin 2x 的圖形重複一次， 如圖9-6 所示： 例題 7： 試作 的圖形。 解： 因此 , 作 的圖形時 , 可將 y = sin x 的圖形在 x-軸下 面的部份 , 代以其對 x-軸的對稱圖形 , 如圖9-7 所示： 例題 8： 作函數 f (x) = 3sin 2x 之圖形。 解： 因為 f (x+π) = 3sin 2(x+π) = 3sin (2π+2x) = 3sin 2x = f (x) , 所以這函數之週期為 π, 而 f 的值域為 [-3,3] , 故知 f 的圖形和 sin 之圖形相似 , 相當於把 sin 的圖形於 y-軸方向上“拉長”了 3 倍 , 而於 x-軸方向上 “壓縮”一半 , 如圖9-8 所示： § 9-2 三角函數的極限 在求三角函數的導函數之前，先討論一些 基本的三角函數極限。 下面的結果對未來的發展很重要。 證 (1)：首先，證明 ，假設 ，令 U 為直角座標系上圓心在原點且半徑為 1 的單位圓，圖形如圖9-9 所示： 參考該圖，我們得知 ，因 ， 故由夾擠定理可得 ，我們再證明 ，若 ，則 ， 因此