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§5.2 离散时间系统 2.特解 5.3 卷和及其应用 常用信号的卷积和 例5-5 解： 1、单位序列响应定义 二、离散系统的零状态响应 例5-9 信号与系统 * 信号与系统 * 一．差分方程 线性：均匀性、可加性均成立； 1. 离散系统的性质 时不变性 整个序列右移N位 一．差分方程 2.由实际问题直接得到差分方程 例如： y(n)表示一个国家在第n年的人口数 a(常数)：出生率 b(常数): 死亡率 设x(n)是国外移民的净增数 则该国在第n+1年的人口总数为： y(n+1)=y(n)+ay(n)-by(n)+x(n) =(a-b+1)y(n)+x(n) 一．差分方程 3.由微分方程导出差分方程 后差 或前差 －－输出 －－输入 一．差分方程 若用后差形式 若在 t =nT 各点取得样值 当前输出 前一个输出 输入 n代表序号 2).零输入响应+零状态响应 　利用卷积求系统的零状态响应 1).时域经典法：齐次解+特解 3). z变换法?反变换?y(n) 解法 4．求解差分方程 x[n] x[n]+f[n] f[n] (b) 加法器 离散时间系统的时域模拟： x[n] x[n-1] D (a) 延时器 常系数一阶后向差分方程 围绕加法器建立差分方程： 建立下图所示系统的数学模型。 常系数一阶前向差分方程 围绕加法器建立差分方程： 建立下图所示系统的数学模型。 1.齐次解：齐次方程的解 指数形式 但起始状态 不能全为零 由特征方程 可得 求待定系数 K由边界条件决定 差分方程?特征方程?特征根? y(n)的解析式?由起始状态定常数 4．求解差分方程 时域经典法： 线性时不变系统输入与输出有相同的形式 输入 输出 （r与特征根重） 4．求解差分方程 1.零输入响应：输入为零，差分方程为齐次 C由初始状态定（相当于0 - 的条件） 齐次解： 2.零状态响应：初始状态为0，即 求解方法 经典法：齐次解+特解 卷积法 4．求解差分方程 零输入响应+零状态响应 记作： yzs (n)=f(n)*h(n) ?(n) h(n) ?(n-k) ? h(n-k) f(k)?(n-k) ? f(k)h(n-k) 此称为f(n)与h(n)的卷积和 (Convolution) f (n)=f(n)* ?(n) 一、离散信号的分解与卷和 -离散信号的分解公式 -零状态响应公式 2、f(n)与单位阶跃序列卷和 1、f(n)与单位序列信号卷和 四、卷积和的性质 1．交换律 2. 分配律 3. 结合律 3、ε(n)与anε(n) 卷和 卷积和的计算 例：f(k)=akU(k) ， h(t)=bkU(k) ，求卷积和y(k)=f(k)*h(k). 1．利用定义计算 2. 利用常用信号卷积与有关性质计算 3. 利用卷积求和表计算 4. 利用图解法计算 例：已知f(k)={…, 0 , 3 , 2 , 1 , 0…}, h(k)= (0.5)kU(k), 求y(k)=f(k)*h(k). 1）f(k)、h(k)? f(m)、h(m) 2） h(m)? h(-m) （折叠） 3） h(k-m) （平移） 4） f(m) h(k-m) （相乘） 5） 求和计算 5.利用序列阵表法计算 例 解: 例 解: 例：设h[n] 与 x[n] 分别如下图所示，求 解法一：列表法 1 1 1 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 解法二：序列相乘法 1 1 1 1 3 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 5 6 6 3 1 即： 解法三：利用序列阵表法 1 1 1 1 3 3 3 3 3 2 2