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两直线的夹角与角平分线
兩直線的夾角與角平分線
成功高中‧陳冠宏 老師
10-3-3 兩直線的夾角與角平分線
定理敘述
1. 兩直線的夾角
若 , 分別為 L ,L 之法向量， , 分別為 L ,L 之方向向量，為兩直線之夾角則
1 2 1 2
cos ∙ ∙
| || | | || |
2. 兩直線的角平分線
L a x b y c
: 0
1 1 1 1 為兩相交直線，
L a x b y c
: 0
2 2 2 2
a x b y c a x b y c
則此兩直線的兩條角平分線為 1 1 1 2 2 2
a 2 b2 a 2 b2
1 1 2 2
定理證明或說明
1. 兩直線的夾角
兩直線的夾角，共有兩個，其一為兩直線方向向量或法向量的夾角，另一夾角為其
補角。
2. 兩直線的角平分線
L a x b y c
: 0
1 1 1 1
L a x b y c
: 0
2 2 2 2
∵角平分線上任一點到兩邊等距離，設 P(x,y)為角平分線上一點，
| a x b y c | | a x b y c | a x b y c a x b y c
則 d (P ,L ) d (P ,L ) 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2
1 2
a 2 b2 a 2 b2 a 2 b2 a 2 b2
1 1 2 2 1 1 2 2
關鍵字
兩直線的夾角、角平分線
多普達國際．信望愛文教基金會
2
例題 1
: 3 5 0
L1 x y
已知 ，試兩直線的夾角
: 3 7 0
L2 x y
Ans ：30°或 150°
解：
兩直線的法向量分別為 1, √3, √3, 1
∙ 2√3 √3
cosθ
| || | 2 2 2
∴θ=30°或 150°
例題 2
試求通過(1,2)且與 x 3y 2 0 夾 60°角的直線方程式
Ans ：x=1 或 x 3y 12 3
解：
設 L 的法向量為(a,b) ，若a=0 ，則可取法向量為(0,1)
(0,1) (1, 3) 3
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