线性代数 补充例题.doc

例　在中，求向量在基 ，，， 下的坐标。 解　设。比较分量得： 增广矩阵 解得 即在基下的坐标为。 例　已知的两个基 ，， 和 ，， 试求由基到基的过渡矩阵。 解　法1　直接法（待定法） 设 解三个线性方程组得 ， ， ， 故由基到基的过渡矩阵为 法2　间接法（中间基法） 取的基，，则由到和的基变换公式为 ， 其中 ， 于是 例　已知的两个基： ， ， 求由基到的过渡矩阵。 解　取的基，，，，则由到和的基变换公式为 其中 ， 于是 故由到的过渡矩阵为 例　设4维向量空间的两个基和满足 ， （1）求由到的过渡矩阵。 （2）求向量在基 下的坐标。 解（1）由所给等式解得 即 故过渡矩阵为 （2） 故在基下的坐标为。 例　设是向量在基 ， ， ， 下的坐标，是在基下的坐标，且 ，， ，， （1） 求从基到基的过渡矩阵； （2） 求基。 解　（1）将坐标之间的关系式写成 则相应的基变换公式为 其中 是从基到基的过渡矩阵。 （2）因为 所以 ， ， ， 例　问下列矩阵是否正交矩阵？为什么？ 1）；2）。 解　1）因，所以是正交矩阵。 2）因为 故不是正交矩阵。 正交矩阵有如下一些性质： 例　问矩阵是否正交矩阵？为什么？ 解 令，，，因为，，，不是单位向量，故不是正交矩阵。 注意到是两两正交的向量，构造矩阵 则为正交矩阵。 例　设是阶正交矩阵，且。证明1是的特征值。 分析 要证明1是的特征值，只要证明。 证　因为 所以，故1是的特征值。 例　设均为阶正交矩阵，且。试求。 解　因为 故。 例　设是正交矩阵的特征值，证明也是的特征值。 证　法1　设，左乘得，即，可见是的特征值。由于与有相同的特征值，从而是的特征值。 法2 例　已知是矩阵的一个特征向量，求参数和特征向量对应的特征值。 解　由定义，即 ，即 解得。 例　已知向量是矩阵的逆矩阵的特征向量，其中，求常数。 解　因为，即，也即 于是，解得，。 例　已知方阵满足。证明的特征值只可能是。 证　设 ，。 上式两边左乘得 ，即，或 由知，故。 例　已知矩阵与相似，求和。 解　法1　的对角元是的特征值，利用特征值与特征向量的性质得 解得。 法2 特征值，，应是它的根。 代入，得。代入，得，解得，或。由 确定出。 法3　由得 比较同次幂系数得，即。