高考数学专题复习课设计示例——不等式综合问题王芝平5 王芝平 修订.doc

高考数学专题复习课设计示例 ——不等式综合问题 王强芳广西南宁三中不等式是高中数学中具有联结和支撑作用的主干知识，它既是中学数学的重要内容，又是学习高等数学的必要基础，因此是高考重点考查的内容之一． 不等式知识点多，覆盖面广，内涵深刻，思想丰富，且应用广泛．它作为研究数学问题的重要工具渗透在数学的方方面面．高考不等式命题常在与函数、数列、解析、向量、三角等知识的交汇处设计，具有较强的综合性，且方法灵活多样．这类问题大多以能力立意，注重基础，着重考查不等式性质、不等式解法、不等式的证明及不等式的综合应用与实际应用等．突出考查转化与化归、分类与整合、函数与方程、数形结合等数学思想方法，是考查逻辑推理能力的重要素材．．教学目标 1．会求以三次函数为背景、以不等式为主要工具，在函数导数、方程等知识网络交汇点处设计的小巧灵活的试题；2．经历问题的探究与解决过程，体会不等式与导数的作用；继续感悟转化与化归、函数与方程、数形结合、分类与整合、有限与无限、特殊与一般等思想方法． 典型问题解析 例1．已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，求函数的单调区间； （3）的减区间是，求的取值范围； （4）在区间上是减函数，求的取值范围． 选题目的：掌握求可导函数单调区间的通法，规范书写格式． （1）是简单、特殊的问题，在利用导数的正负判断函数的单调区间时一元二次不等式，从而达到复习巩固不等式的有关内容的目的； （2）是一般问题，从中体会特殊一般的关系； （3）与（4）是两个的问题，目的是引起学生对细节的关注和提高理性思维的能力． 师生活动预设： （1）当时，，由得，，． 因为或；． 所以函数的单调增区间是和，单调减区间是． （2）当时，①若，则，当且仅当时， ， 所以，此时函数的增区间是； ②若， 由于的图象开口向上， 易知或；当． 所以函数的单调增区间是和，单调减区间是． （3）因为的减区间是，由（2）知，，所以． （4）因为在区间上是减函数， 由（2）知，且， 所以，即． 所以的取值范围为． 方法2：因为在区间上是减函数，所以在区间上恒成立，等价于． 方法3：因为在区间上是减函数，所以在区间上恒成立，即恒成立，所以．方法：在区间上是减函数解之． 反思与启迪：经历解题过程，体会与总结求单调区间的步骤；熟练掌握一元二次不等式的解法，必要时可发挥图象的作用．由于一元三次函数的导数是一元二次函数，自然与一元二次方程、不等式等问题联系起来，成为一个新的命题交汇点，使一元三次函数的考题焕发了新的活力，并且内涵丰富多彩，考查深刻、灵活． （4）实际上是含参不等式恒成立问题，是一类重要的数学问题，处理这类问题的思维途径具有多样性，主要是根据题设条件建立关于参数的不等式．常用的如下几种方法： ① 根据条件建立关于参数的不等式，如方法1； ② ，由此得到关于参数的不等式，解之即可； ③对含参数的不等式，通过分离变量”，到或而，； 在求函数的最值时一般离不开的作用，并且经常需要转化与化归、函数与方程、数形结合、分类与整合、有限与无限、特殊与一般等思想方法的灵活运用，对于解含参数的一元二次不等式特别需要分类讨论思想方法的使用． 变式练习：已知函数，（，且）． （1）讨论函数的单调区间； （2）设函数在区间内是减函数，求的取值范围． （Ⅰ）解1：由求导得，，其判别式为． 当时，，，在上递增，即的单调增区间为； 当时，的两根为，， 所以，或，， 即的单调增区间为和 ，单调减区间为． （Ⅱ）崔文浩：老师，我有一个想法，就是太难了． 你说说看！崔：根据第（Ⅰ）问，知道是的子区间， 但是下面我就解不出来了．师：非常好！充分利用第（Ⅰ）问的结论，思考第（Ⅱ）问，虽然你没有解出结果，但是你的想法与高考命题专家完全一致！之所以我们解不出来，是因为我们现在的内容已经将无理不等式删除了，所以我们应该换个角度观察条件，挖掘新的信息，找到合理简捷的运算途径． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，是不等式的解集的子集． 由二次函数的图象可知， ． 所以的取值范围为． 解3：函数在区间内是减函数，等价于在区间内恒成立． ， （） 令，则（）． （那么，怎样求的最大值呢？） 由，得． 因为； ． 所以，的减区间是，增区间是． 又，，所以．所以 ． 所以的取值范围为． 反思与启迪： 三次函数的导数是（含参数的）一元二次函数，解决的方法需要根据参数在二次项、一次项或者常数项的位置进行分类讨论，或者利用参数分离的方法求解． 第二问的方法1利用第一问的结论，拾级而上，使两问成为一个有机的整体；方法2利用数形结合思想，充分发挥了二次函数图象的特点，得到参数的一次不等式组，解法变得非常简捷；方法3通过参数分离法，转化为一个函数最值问题，导数又自然成为解题的有力工具，是函数思想的成功应用． 以一元三次函数为背景