13概率的公理化.ppt

第四节 概率的公理化定义 在学习几何和代数时，我们已经知道公理是数学体系的基础. 数学上所说的“公理”，就是一些不加证明而公认的前提，然后以此为基础，推演出所讨论对象的进一步的内容. 0≤P(A)≤1 P(Ω)=1 P(φ)=0 非负性 规范性 有限可加性 若事件A1，A2,…,An两两互不相容，则有 P(A1+A2+…+An)=P(A1)+…+P(An) 统计概率，古典概率和几何概率的P(A)的公共性质？ 即通过规定概率应具备的基本性质来定义概率. 下面介绍用公理给出的概率定义. 1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义. 柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单， 但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦. 概率的公理化定义 公理2 P(?)=1 　　　　　　 (2)　 公理1 0 P(A) 1 　　　　　　　(1) 设E是随机试验，?是它的样本空间，对于?中的每一个事件A，赋予一个实数，记为P(A) ，称为事件A的概率，如果集合函数 P( ) 满足下述三条公理: 公理3 若事件A1, A2 ,… 两两互不相容，则有 　　 (3) 这里事件个数可以是有限或无限的 . 公理2 P(?)=1 　 (2)　 公理3 若事件A1, A2 ,… 两两互不相容，则有 　　 (3) 这里事件个数可以是有限或无限的. 公理 1 0 P(A) 1 　　(1) 公理1说明，任一事件的概率介于0与1之间； 公理2说明，必然事件的概率为1； 公理3说明，对于任何互不相容（互斥）的事件序列，这些事件至少有一个发生的概率正好等于它们各自概率之和. ?概率的重要性质 1.不可能事件的概率为0。即P(φ)=0 2.(有限可加性）若随机事件 互不相容，则 3.对任一随机事件A,有 4.设两个事件A、B满足 ，则有 P(A-B)=P(A)-P(B) 5.对任意事件A、B,则有 P(A-B)=P(A)-P(AB) 6.对任意事件A、B,则有 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 三个事件和的概率为 P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC) - P(AC) + P(ABC) 例1：已知 在下列3种情况下分别求出 的值。 A与B互不相容； ； 例4.袋中有5个白球和3个黑球,从其中任取2个球, 求(1)取得的两球同色的概率. (2)取得的两球至少有一个白球的概率. 例5 将一颗骰子抛掷4次，问至少出一次“6”点的概率是多少？ 令 事件A={至少出一次“6”点} A发生 {出1次“6”点} {出2次“6”点} {出3次“6”点} {出4次“6”点} 直接计算A的概率较麻烦, 我们先来计算A的对立事件 ={4次抛掷中都未出“6”点} 的概率. 于是 =0.518 因此 = =0.482 由于将一颗骰子抛掷4次,共有 =1296种等可能结果, 而导致事件 ={4次抛掷中都未出“6”点} 的结果数有 =625种 例6 有r 个人，设每个人的生日是365天的任何一天是等可能的，试求事件“至少有两人同生日”的概率. 为求P(A), 先求P( ) 解：令 A={至少有两人同生日} ={ r 个人的生日都不同} 则 用上面的公式可以计算此事出现的概率为 =1-0.524=0.476 美国数学家伯格米尼曾经做过一个别开生面的实验，在一个盛况空前、人山人海的世界杯足球赛赛场上，他随机地在某号看台上召唤了22个球迷，请他们分别写下自己的生日，结果竟发现其中有两人同生日. 即22个球迷中至少有两人同生日的概率为