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2006-2007A高数题
哈尔滨工业大学（威海）2006/2007学年 春季学期
工科数学分析 （A班）（答案） 试题卷（A）
一、填空题（每题3分，共30分）
1．设，则，，
2．曲面在点处的切平面方程是
3．函数在点处的梯度
4．交换积分次序：
5．在单联通域上连续且有连续偏导数时，积分与路径无关的充要条件是
6．设，则
7．级数的收敛域是
8．函数以为周期，则其傅里叶系数 ， 。
9．方程的通解是。
10．设是二阶方程 的三个线性无关的特解，则其通解可表为
二、试解答下列各题：（每题4分，共24分）
1．设 在处有二阶连续偏导数，求。
解：设为1号变量，为2号变量
2．试求在约束条件下的极大值（已知存在）。
解：设
解得：
由题意知
3． 设是由围成的区域，在上连续，试利用柱坐标将三重积分化为三次积分。
解：
4．求球面 被柱面所截出的表面积。
解：
5．试把函数展开成马克劳林级数，并求收敛半径。
解：
6．解方程
解：设，代入方程得
即
又的通解
故所求方程通解
三、试解答下列各题（每题4分，共16分）
1．求曲面 及所夹球壳的质量，其中它每一点的密度与这点到原点的距离成反比。
解：，为比例常数
2．已知向量场 ，证明。
解：
3．试求方程的形如的解，其中。
解：
代入方程得
4．试计算曲面积分：，其中是曲面与平面及所围立体表面的内侧，。
解：
1
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