高考压轴题魏立国.doc

2004年江苏高考压轴题解题思路探索 魏立国 内容摘要：2004年江苏高考压轴题解题思路探索。老师充分暴露自己思维过程，才能不断培养学生分析问题解决问题能力，才能以不变应万变。 二00四年江苏高考压轴题，第三小问全省四十几万考生仅有一位考生做出来，可见难度之大，从官方提供解答，以及后来笔者在一些杂志上看到一些证法，其证法巧妙是常人难以想到的。在考场上，时间紧，试题难是一个原因，但是不是一般同学就高不可攀呢？或者常规思路就不行呢？笔者认为不是的。 原题：已知函数f(x)(x∈R)满足下列条件，对任意实数x1,x2都有 (x1－x2)2≤(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]①和| f(x1)－f(x2)|≤ |x1－x2|②其中是大于0的常数，设实数a0,a,b满足f(a0)=0和 b=a－f(a) ③ （1）证明：≤1并且不存在b0≠a0,使得f(b0)=0 （2）证明：(b－a0)2≤(1－2)(a－a0)2 （3）证明：[f(b)]2≤(1－2)f2(a) 笔者仅对第（3）小问思路探索做如下分析。 证f2(b)≤(1－2)f2(a)成立，即证2f2(a)≤f2(a)－f2(b)，由③知f(a)=a－b，即证，(a－b)2≤f2(a)－f2(b),到这里很自然想到利用①，由①(a－b)2≤，现在如能证明≤f2(a)－f2(b)看到两边都有f(a)－f(b)，当然不能轻易约去，只能通过移项变形为：[f(a)－f(b)][ f(a)+f(b)－]≥0，即证[f(a)－f(b)][f(a) +f(b)－(a－b)] ≥0,看到f(a)再一次利用③，即证[f(a)－f(b)] f(b)≥0,等价于f(a)－f(b)≥0, f(b)≥0或f(a)－f(b) ≤0, f(b)≤0，即证f(a)≥f(b)≥0或f(a)≤f(b)≤0，看到这里势必想到是不是利用单调性,由①看出x1＜x2时≥＞0,即f(x)单调递增，即证a≥b,f(b)≥0或a≤b,f(b)≤0，如何找这一关系呢？看到a－b＝f(a)，a≥b时，f(a)≥0，给我们一线希望是不是a≥b时，f(a)≥f(b)≥0 ，当a≤b时，f(a)≤f(b)≤0?所以决定下面必然想到分类。 ①a≥b时，由单调性f(a)≥f(b)，由a－b＝f(a)知，f(a)≥0，但f(b)≥0吗？由| f(a)－f(b)|≤| a－b|=|f(a)|,若f(b)＜0, |f(a)－f(b)|＞|f(a)|＞|f(a)|显然不可能，∴f(b)≥0即证 ②a＜b时，显然由单调性f(b)＞f(a)，由a－b＝f(a)知，f(a)＜0,但f(b)＜0吗？由| f(a)－f(b)|≤| a－b|=|f(a)|看出，若f(b)≥0，| f(a)－f(b)|≥| f(a)| ＞|f(a)|不可能，∴f(b)＜0即证 虽然此法不是什么巧妙之法，从分析过程可以看出，只要对条件①②③利用得当，按照常规思路也可以顺利得到证法，那么这一证法也不是什么奇特方法，那么多的考生为什么想不到呢？除了考试时间紧外，另外暴露一个问题，学生不会分析，不会探索解题思路。在日常教学中，有些老师为了应付阶段性测试，只顾一堂课讲多少题型，不注意暴露思维过程，没有真正把探索发现的权利交给学生。而一般老师很难讲到高考压轴试题这些题型，只有通过课堂上，老师充分暴露自己思维过程，才能不断培养学生分析问题解决问题能力，才能以不变应万变。 发表于《数学通讯》2005年第九期。 2