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D8_3一阶线性方程和伯努利方程
一阶线性微分方程和伯努利方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 8.3 8.3.1 一阶线性微分方程 8.3.2 伯努利方程 第八章 8.3.1 一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式: 若 Q(x) ? 0, 若 Q(x) ? 0, 称为上述方程一阶非齐次线性微分方程 . 1. 解一阶齐次线性微分方程 分离变量 两边积分得 故通解为 称上述方程为一阶齐次线性微分方程 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对应齐次方程通解 一阶齐次线性微分方程通解 一阶非齐次线性微分方程特解 2. 解一阶非齐次线性微分方程 用常数变易法: 则 故原方程的通解 即 即 作变换 两端积分得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 解方程 解: 先解 即 积分得 即 用常数变易法求特解. 令 则 代入非齐次的方程得 解得 故原方程通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 8.3.2 伯努利 ( Bernoulli )方程 伯努利方程的标准形式: 令 求出此方程通解后, 除方程两边 , 得 换回原变量即得伯努利方程的通解. 解法: (线性方程) 伯努利 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 求方程 的通解. 解: 这是 n = 2的伯努利方程, 令 代入原来已知方程得到 这是一阶线性微分方程,其通解为 将 代入, 得原方程通解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 或 此外方程还有解 y = 0. 例3. 解方程 解 若把所给方程变形为 即为一阶线性方程, 则按一阶线性方程的解法可求得通解. 也可用变量代换来解所给方程: 令 则 代入原方程,得 分离变量得 常利用变量代换把微分方程化为可解的另一类微分方程。 两端积分得 以 代入上式, 即得 或 内容小结 1. 一阶线性方程 方法1 先解一阶齐次方程 , 再用常数变易法. 方法2 用通解公式 化为线性方程求解. 2. 伯努利方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 判别下列方程类型: 提示: 可分离 变量方程 齐次方程 线性方程 线性方程 伯努利方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 P357 1 (1) , (3) , (5) ; 2 (1) , (3); 3 (2) . 作业 第五节 目录 上页 下页 返回 结束 ( 雅各布第一 · 伯努利 ) 书中给出的伯努利数在很多地方有用, 伯努利(1654 – 1705) 瑞士数学家, 位数学家. 标和极坐标下的曲率半径公式, 1695年 版了他的巨著《猜度术》, 上的一件大事, 而伯努利定理则是大数定律的最早形式. 年提出了著名的伯努利方程, 他家祖孙三代出过十多 1694年他首次给出了直角坐 1713年出 这是组合数学与概率论史 此外, 他对 双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究 . * 运行时, 点击相片, 或按钮“伯努利”, 可显示伯努利简介,并自动返回. * * 运行时, 点击相片, 或按钮“伯努利”, 可显示伯努利简介,并自动返回. *
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