二次型习题解答P232~236.docVIP

第五章 二次型习题解答p.232~236 1.(Ⅰ)用非退化线性替换化下列二次型为标准形,并利用矩阵验算所得结果. (1) 解: 先作线性替换, 再令,得 相应的替换矩阵为,则 . (2) f(x1,x2,x3)=x12+2x1x2+2x22+4x2x3+4x23. 解： f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+x22+4x2x3+4x23 =(x1+x2)2+(x2+2x3)2+0 令 即 则f(x1,x2,x3)==y12+y22. 用矩阵验算 (3) f(x1,x2,x3)=x12-3x22-2x1x2+2x1x3-6x2x3 解： f(x1,x2,x3)=(x1-x2+x3)2-(x2-x3)2-3x22-6x2x3 =(x1-x2+x3)2-4x22-4x2x3- x32 =(x1-x2+x3)2-(2x2+x3)2. 令 即 则f(x1,x2,x3)=y12-y22 验算有： (4) f(x1,x2,x3,x4)=8x1x4+2x3x4+2x2x3+8x2x4. 解: 令 f(x1,x2,x3,x4)=8(y21-y24)+2y3(y1-y4)+2y2y3+8y2(y1-y2) =8y21-8y24+8y1y2+2y1y3+2y2y3-8y2y4-2y3y4 令 即则 矩阵验算略 (5) f(x1,x2,x3,x4)=x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4 解： ∴ 则. (6) f(x1,x2,x3,x4)=. 解?: 由配方法可得 且非退化的线性替换为 故替换矩阵为 且有 (7) 解： 则 即令X= 则. (Ⅱ) 把上述二次型进一步化为规范形，分实系数、复系数两种情形；并写出所作的非 退化线性替换。 解:(1) 已求得二次型的标准形为且非退化线性替换为 . (a)在实数域上，若作非退化线性替换 ,则可得规范形为 (b) 在复数域上，若作非退化线性替换,则可得规范形为 (2) 已求得二次型f(x1,x2,x3)=x12+2x1x2+2x22+4x2x3+4x23的标准形为 这也是该二次型在实数域上的规范形和复数域上的规范形 (3) 已求得二次型f(x1,x2,x3)=x12-3x22-2x1x2+2x1x3-6x2x3的标准形为 这已经是它在实数域上的规范形.再令,得该二次型在复数域上的规范形为 (4) 已求得二次型f(x1,x2,x3,x4)=8x1x4+2x3x4+2x2x3+8x2x4的标准形为. (a) 在实数域上,再令非退化的线性替换为 ,可得二次型的规范形为 (b) 在复数域上，若作非退化线性替换 ,可得二次型的规范形为 (5) 已求得二次型f(x1,x2,x3,x4)=x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4的标准形为 . (a) 在实数域上,再令非退化的线性替换为 ,可得二次型的规范形为 (b) 在复数域上，若作非退化线性替换,可得二次型的规范形为 (6) 已求得二次型 f(x1,x2,x3,x4)= 的标准形为 (a) 在实数域上,再令非退化的线性替换为 ,可得二次型的规范形为 (b) 在复数域上，若作非退化线性替换,可得二次型的规范形为 (7) 已求得二次型 的标准形为. (a) 在实数域上,再令非退化的线性替换为 ,可得二次型的规范形为 (b) 在复数域上，若作非退化线性替换,可得二次型的规范形为 2. 证明秩等于r的对称矩阵可以表成r个秩为1的对称矩阵之和. 证明: 设R(A)=r，则存在可逆矩阵C,使得 那么，d1E11,d2E22,…drErr的秩都等于1，且为对称的, 得 其中Bi是对称矩阵, 且RR，A为r个秩为1的对称阵之和. 3. 证明与合同,其中i1,i2,…,in是1,2,…,n的一个排列. 证法1: 对于,, 有 ,.又为的一个排列，所 考虑标准单位向量,作,则C的n列线性无关，C可逆，且, 故A与B合同. 证法2: 与矩阵A,B相对应的二次型为 . 作非退化的线性替换yk=xik,则fB变为fA,所以A与B合同. 4. 设A是一个n级矩阵, 证明: (1) A是反对称矩阵当且仅当对任何n维向量X, XTAX=0. (2) 如果A是对称矩阵, 且对任一个n维向量X有 XTAX=0, 则A=0. 证明: (1) 必要性. 设A是反对称矩阵,则AT= (A, 对任一个n维向量X有 XTAX=( XTAX) T= ( XTAX, 所以XTAX=0. 充