4第四章多分辨率分析与正交小波变换(小波分析课件)课件.ppt

4.3.2 滤波器系数h0k和h1k的性质 （1） h0k和h1k的总和分别为 （2）频域初值 * （3）递推关系 * （4）滤波器H0（ω）， H1（ω）特性： 前两个式子是设计H0（ω）， H1（ω）的主要依据，第三个式子给出了H0（ω）与 H1（ω）之间的内在联系。 它在时域中的表达式为： * 4.4 二进正交小波变换的 Mallat算法 根据多分辨率理论，Mallat提出了小波分解与重构的快速算法，称为Mallat算法，其在小波分析中的作用相当于FFT在傅立叶分析中的作用。它标志着小波分析走上了宽阔的应用领域。 * 4.4.1 Mallat算法的信号分解过程 在多分辨率分析中，我们得出一个重要结论： * 可推得： 我们称上式为离散平滑逼近，下式是离散细节信号。 * 分解算法图例 * 4.4.2 Mallat算法的信号重建过程 由前面 所以 * 是由它们重建得到的第j-1级离散平滑信号。G0(k)、 G1(k)为： 如果从设计滤波器的角度考虑，设输入信号为x(k)，重建输出信号为y(n)，我们将x(k)进行二插值，得x(k/2)，k为偶数，所以： * 重构算法图例 * Mallat算法得分解与重构比较： （1）在分解算法中信号是先滤波后抽取，而在重建算法中是先插值后滤波。 （2）在重建公式中，是对k求和，而在分解式中，是对n求和。 （3）综合滤波器和分析滤波器中的系数不一定相等。 * 4.4.3 Mallat算法的频带分解特点 如果将空间进行三层分解，得 在Mallat算法中，是通过算子H0、H1来实现的，数据 表示 ，则在Mallat算法中， 从而实现了 * 谢谢！ * 第四章 多分辨率分析与正交小波变换 概述 多分辨率是小波分析中的最重要的概念之一，它从函数空间的高度研究函数的多分辨率表示—将一个函数表示为一个低频成分与不同分辨率下的高频成分。更重要的是，多分辨率能够提供一种构造小波的统一框架，并且能够提供函数分解与重构的快速算法。 * 本章主要内容 多分辨率分析 尺度函数和小波函数 二尺度方程及多分辨率滤波器组 二进正交小波变换的Mallat算法 * 4.1 多分辨率分析 定义：多分辨率分析（Multiresolution Analysis, MRA）是用小波函数的二进伸缩和平移表示函数这一思想的更加抽象复杂的表现形式，它重点处理整个函数集，而非侧重处理作为个体的函数。 基本思想：将L2（R）用它的子空间Vj，Wj表示，其中Vj，Wj分别称为尺度空间和小波空间。 * 性质 尺度空间Vj具有以下递归嵌套关系： 将Vj，Vj－1相关联的关键性质是： 2.小波空间Wj是Vj，Vj+1之间的差，即 ，它捕捉Vj+1逼近Vj时丢失的信息。 * 比喻 类似于人的视觉系统。例如：人在观察某一目标时，不妨设他所处的分辨率为j（或2j），观察目标所获得的信息是Vj，当他走近目标，即分辨率增加到j-1（或2j-1），他观察目标所获得的信息为Vj-1，应该比分辨率j下获得的信息更加丰富，即 ，分辨率越高，距离越近；反之，则相反。 * 在分辨率分析中，Vj称为逼近空间，我们把平方可积的函数f(t)∈L2(R)看成是某一逐级逼近的极限情况。每次逼近都是用一低通平滑函数φ（t）对f(t)做平滑的结果，在逐级平滑时平滑函数φ（t）也做逐级逼近，这就是多分辨率，即用不同分辨率来逐级逼近待分析函数f(t)。 * 补充：直和 设E是线性空间，L1，L2，…，Ln是E的子空间，如果任一元素x∈E可以惟一表示成x=x1+x2+…+xn,其中xk ∈ Lk(k=1,2,…,n),则称E是L1，L2，…，Ln的直和，记为： * 我们把空间做逐级二分解产生一组逐级包含的子空间： j是从-∞到+∞的整数，j值越小空间越大。 如，当j＝4时， * 空间的剖分是完整的，即当j－-∞，Vj－L2（R），包含整个平方可积的实变函数空间。 当j－+∞，Vj－ 0，即空间最终剖分到空集为止。 这种剖分方式使得空间Vj与空间Wj正交，各个Wj之间也正交，即： * 这种函数空间的部分有如下特性： （1）位移不变性：函数的时移不改变其所属空间，即如果f(t)∈Vj，则f(t-k)∈Vj。 （2）二尺度伸缩性：即f(t)∈Vj，则f(t/2)∈Vj+1, f(2t)∈Vj-1。 * 各空间内的结构做进一步分析： （1）设V0中有低通平滑函数φ（t），它的整数移位集合 是V0中的正交归一基。我们称为尺度函数，所以有：