鲜大权概率论与数理统计第7讲.ppt

Copyright 2005 ? Sichuan University 鲜大权概率论与数理统计讲义 概率论与数理统计第7讲 从一令 谈起 《如梦令·昨夜雨疏风骤 》 李清照 昨夜雨疏风骤。 浓睡不消残酒。 试问卷帘人， 却道“海棠依旧”。 知否，知否？ 应是绿肥红瘦！ 例4(P77ex1).设r.v.X和r.v.Y相互独立，且 即概率密度为： * 西南科技大学理学院 鲜 大 权 纲要 1、相互独立随机变量 2、二维随机变量的函数分布 3、小结 上讲复习要点 1、二维随机变量的概念 2、联合分布函数 1)定义 ： 2)性质：单调不减、规范、右连续 3)计算：离散型、连续型 3、边际分布与条件分布 1)定义; 2)性质; 3)计算：离散型、连续型 4、常见的二维分布：二维均匀分布，二维正态分布。 设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有 则称X,Y相互独立 。 1、两随机变量独立的定义 一、相互独立的随机变量 用分布函数表示,即 设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有 则称X,Y相互独立 。 概述：两个r.v相互独立的充分必要条件是其联合分布函数等于边缘分布函数的乘积 。 1)对d.r.v (X,Y) ，上述独立性定义等价于： 则称X和Y相互独立。 若对(X,Y)的所有可能取值(xi, yj),有 显然：对相互独立的二维随机变量，其边缘分布能唯一确定联合分布。 几乎处处成立，则称X,Y相互独立 。 若对任意 x, y, 有 2)对c.r.v (X,Y) ，上述独立性定义等价于： 例1.设(X,Y)的联合概率密度为： (P73)二维正态分布（X，Y）,X与Y独立的 充要条件是参数 求 :(1)关于X,Y的边缘概率密度； (2)判断X与Y是否独立。 例2.(P74)一领导到办公室时间均匀分布在8到12点，他的秘书到达时间均匀分布在7到9点，设他们到达时间相互独立，求他们到达时间相差不超过5分钟的概率. G 8 12 7 9 例3. (1999.I)设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X,Y)的联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 注： 1)若两个随机变量不独立，讨论它们的关系时，除要讨论前面介绍的联合分布和边缘分布外，还有必要考虑条件分布. 2)以上关于二维随机变量的一些概念不难推广到n维r.v的情形. 在第二章讨论了一维随机变量函数的分布，下面进一步讨论二维随机变量的函数的分布问题，然后将其推广到多个随机变量的情形. 二、两个随机变量的函数的分布 1）c.r.v. (X,Y)和的分布 设(X,Y)联合密度为 f (x,y)，求Z=X+Y的密度. Z=X+Y的分布函数为: FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y ≤ z) 1、和的分布 化成二次积分得 令x=u-y,得 交换积分次序 由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y的概率密度为: 由X和Y的对称性, fZ (z)也可写成为： 以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式。 特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为: 这两个公式称为卷积公式 . 下面用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度 求 Z=X+Y的概率密度。 例5(1987.I）设r.v. 相互独立，其概率密度函数分别为: 求随机变量 的概率密度函数。 例4 的结论： 一般地：若X和Y 独立, 此结论可以推广到n个独立随机变量之和的情形,见教材P.77. 若X和Y 独立,具有相同的分布N(0,1),则Z=X+Y服从正态分布N(0,2). 阅读教材P78例3。 更一般地,有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布. 2）d.r.v. (X,Y)和的分布 若X、Y独立，P(X=k)=ak , k=0,1,2,…, P(Y=k)=bk , k=0,1,2,… ,求Z=X+Y的概率函数. 则: =a0br+a1br-1+…+arb0 由独立性 此即离散 卷积公式 r=0,1,2, … 例6