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非线性规划 最优性条件 （Kuhn-Tucker 条件） 问题 min f(x) s.t. g(x) ≤0 h(x)=0 约束集 S={x|g(x) ≤0 , h(x)=0} 一、等式约束问题的最优性条件： 考虑 min f(x) s.t. h(x)=0 回顾高等数学中所学的条件极值： 问题 求z=f(x,y)极值 min f(x,y) 在ф(x,y)=0的条件下。 S.t. ф(x,y)=0 引入Lagrange乘子：λ Lagrange函数 L(x,y;λ)= f(x,y)+ λ ф(x,y) 一、等式约束性问题的最优性条件： (续) 若(x*,y*)是条件极值，则存在λ* ，使 fx(x*,y*)+ λ* фx (x*,y*) =0 fy(x*,y*)+ λ* фy(x*,y*) =0 Ф (x*,y*)=0 推广到多元情况，可得到对于(fh)的情况： min f(x) s.t. hj(x)=0 j=1,2, …,l 若x*是(fh)的l.opt. ,则存在υ*∈ Rl使 矩阵形式： 一、等式约束性问题的最优性条件： (续) 几何意义是明显的：考虑一个约束的情况： 最优性条件即： 二、不等式约束问题的Kuhn-Tucker条件： 考虑问题 min f(x) s.t. gi(x) ≤0 i=1,2, …,m 设 x*∈S={x|gi(x) ≤0 i=1,2, …,m} 令 I={i| gi(x*) =0 i=1,2, …,m} 称I为 x*点处的起作用集（紧约束集）。 如果x*是l.opt. ,对每一个约束函数来说，只有当它是起作用约束时，才产生影响，如： 二、不等式约束问题的Kuhn-Tucker条件： （续） 特别 有如下特征：如图 在x* ： ▽f(x*)+u* ▽g(x*)=0 u*0 要使函数值下降，必须使g(x)值变大，则 在ㄡ 点使f(x)下降的方向（- ▽f(ㄡ ) 方向）指向约束集合内部，因此ㄡ不是l.opt. 。 二、不等式约束问题的Kuhn-Tucker条件： （续） 定理（最优性必要条件）： （K-T条件） 问题(fg), 设S={x|gi(x) ≤0},x*∈S,I为x*点处的起作用集，设f, gi(x) ,i ∈I在x*点可微， gi(x) ,i I在x*点连续。 向量组{▽gi(x*), i ∈I}线性无关。 如果x*----l.opt. 那么， u*i≥0, i ∈I使 二、不等式约束问题的Kuhn-Tucker条件： （续） 二、不等式约束问题的Khun-Tucker条件： （续） 用K-T条件求解： 二、不等式约束问题的Khun-Tucker条件： （续） 二、不等式约束问题的Kuhn-Tucker条件： （续） 可能的K-T点出现在下列情况： ①两约束曲线的交点：g1与g2,g1与g3,g1与g4,g2与g3,g2与g4,g3与g4。 ②目标函数与一条曲线相交的情况： g1，g2, g3, g4 对每一个情况求得满足(1)~(6)的点(x1,x2)T及乘子u1,u2,u3,u4,验证当满足可得，且ui≥ 0时，即为一个K-T点。 下面举几个情况： ● g1与g2交点：x=(2,1)T∈S ,I={1,2} 则u3=u4=0 解 二、不等式约束问题的Kuhn-Tucker条件： （续） ● ● 二、不等式约束