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高等数学 第七章 线性代数初步第1节 行列式 二、行列式的计算 三、克莱姆法则 小 结 一、掌握行列式的各条性质 课后作业 1）作业：书上209页练习7-1 第2(2)(3)、4(1)题 2）预习：第7章第2节 矩阵的概念 3）复习：全面复习所学内容 * 教 师 ： 一、行列式的性质 二、行列式的计算 三、克莱姆法则 主要内容： 性质1 行列式D与它的转置行列式DT 相等? 由此性质可知? 行列式中的行与列具有同等的地位?行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立? 反之同? 性质2 互换行列式的两行? 行列式变号? 一、行列式的性质 性质4 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k? 等于用数k乘此行列式。 推论 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。 性质3 如果行列式有两行(列)完全相同? 则此行列式等于零。 性质5 若行列式的某一行(列)的元素都是两个数之和? 则行列式等于两个行列式之和。 即 性质6 行列式中如果有两行(列)元素成比例? 则行列式等于零? 性质7 把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一个数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式不变。 所在的第i行和第j列 在n阶行列式中，把元素 的余子式（complement minor），记作 阶行列式叫做元素 划去后，剩下来的 代数余子式（algebraic complement minor）， 而 前面附以符号 后，叫做元素 的 来表示，即 用符号 例如4阶行列式 中元素 的余子式和代数余子式分别为： 在运用定理7.1来计算行列式时，我们总是按含0最多 的行或列来展开行列式，因为0位置的代数余子式乘 以0后仍然是0。 例1 证明： 证：由定理7.1将行列式按第1行展开， 对这个n－1阶行列式再按第1行展开有： 这样逐步推下去，则得到 称n 阶行列式 为上三角行列式。 型如例1的行列式称为下三角行列式，它们统称为 三角形行列式。 显然， n阶三角形行列式等于它的主对角线上元素的乘积 例2 计算 的值。 在计算行列式时, 可以使用如下记号以便检查: 符号规定 第 i 行(或列)提出公因子 k ? 记作 ri?k (或 ci?k )? 交换 i? j 两行记作 ri?rj ? 交换 i? j 两列记作 ci?cj? 以数k乘第j行(列)加到第i行(列)上? 记作ri?krj (ci?kcj) 对任意的n阶行列式可用行列式性质将其化为三角形 行列式，这时计算n阶行列式的值即转化为计算三角 形行列式主对角线上的元素相乘的积。 例3 计算 ? 3 1 2 ?1 ?5 1 ?4 3 2 0 ?1 1 1 ?5 ?3 3 2 ?1 ?4 3 ?1 1 ?3 3 1 3 2 ?1 1 3 2 ?1 0 16 7 ?2 0 1 2 3 ?1 2 1 ?1 0 0 ?10 8 0 1 2 3 ?1 2 1 ?1 0 2 ?1 1 1 1 0 ?5 解： 3 1 2 ?1 ?5 1 ?4 3 2 0 ?1 1 1 ?5 ?3 3 3 ?5 2 1 c1?c2 r2?r1 r4?5r1 0 0 ?8 16 ?6 4 0 2 ?1 1 7 ?2 0 ?8 ?6 4 r2?r3 0 0 ?10 8 0 0 15 ?10 r3?4r2 r4?8r2 0 0 5/2 0 ?40? r4?r1 r3?r1 6 1 1 1 1 例4 计算 ? 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 1 3 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 1 3 1 解： c1?c2?c3?c4 6 6 6 6 1 3 1 1