3.2格林公式及其应用.pptVIP

1. 格林公式 §2 格林公式及其应用 * 高斯定理（体积分化成曲面积分）:设 是以足够光滑的曲面 为边界的有界区域（可以是多连通区域）， 在 上具有连续偏导数的任意函数，则成立 记 则由第二曲面积分定义 注：广义牛顿－莱布尼茨公式可推导出一维牛顿－莱布尼茨公式。 高斯公式 推论1（广义牛顿－莱布尼茨公式）: 推论2（高维分部积分公式）： 其中 表示 的第i个分量。 设 ， 　 由高斯公式，可得 记　 *格林第一公式 互换 位置，可得 *格林第二公式 上面两式相减，可得格林第二公式 下面我们利用格林第二公式推导调和函数的一些基本性质。 考察函数 *调和函数的积分表达式 其中 表示 中以　 为球心，以 为半径的 小球，边界记 。 则 利用格林公式， 则 令 在球面 上，由于 因此 利用积分中值定理，其中 是函数 在球面 上的平均值。 类似地，有 球面平均值。 因此 在上式中令 ，就得到泊松方程解的基本积分公式 其中 特别序员 时，调和函数一般积分公式 联系引力位势 在上式中取 为调和函数，则有下列定理： 定理 2.1 设函数 在以曲面 为边界的区域 内调和，在 上有连续一阶偏导数，则 注 诺伊曼内问题 有解的必要条件是 注 有解的必要条件是 注 利用叠加原理可得： 是泊松方程的一个特解 注 二维拉普拉斯方程的基本解为 相应的调和函数积分公式为 联系赫尔德条件 2.平均值定理 定理2.2（平均值公式）设函数 在某区域 内调和， 是 中的任一点。则对以 为球心、 为半径完全落在区域的内部的球面 ，成立 证 把调和函数积分公式应用到球面 上，得到 由定理2.1知 于是 注 如果 ，则定理可包含与边界相切的球面。 另一方面， *数学角度证明 3.极值原理 *物理背景：稳定温度场在动态平衡下，温度分布在内部不可能有最高点或最低点。 ，其在区域 的任何内点上的值不可能达到 定理2.3（极值原理） 对不恒等于常数的调和函数 它在 上的上界或下界。 常数，且在区域 上的上界为 （注：只需证明有上界情况即可，相反情况，定理自然成立），而 证 用反证法证明。设调和函数 不恒等于 在　内某点　　取值　，我们来引出矛盾。 以 为球心、任意半径 作球 ，使它完全落在区域 中。记 的球面为 ，在 上必成立 。事实 函数的连续性，必可找到此点在球面 上的一个邻域， 上，如果 在球面上 上某一点其值小于 ，则由 在此邻域中 。因此 在 上的积分平均值 但由平均值公式，有 这就发生了矛盾。 同理， 因此在球面 上， 。 在以 为球心、任意 为 半径的球面上， 传递性 从而在整个球 上 现在证明对 中的所有点都恒等于常数 任取一点 ，在区域 中作联结 及 两点 的折线 。 因为 具有有限长度，故可用完全落在 传递性 中的有限个球 盖住 ，使得 的球心为 , 的球心落在 中， 的球心落在 中，…, 的球心落在 中。根据 上面证明的方法，可以依次 证明在所有这些球所包围的 区域上 因此，特别有 由 的任意性，就得到在整个区域上 因为 也是调和函数，从而它在于的内部 这和 不恒等于常数相矛盾。因此 不能在 内部取 到其上界。 不能取到它的上界，就得出 也不能在 内部取到其 下界。这就证明了极值原理！ 推论1 在有限区域 内调和、在 上连续的函数 必在边界 上取得其最大值和最小值。 推论2 设 及 都是区域 内的调和函数，且在 上连续。如果在 的边界 上成立着不等式 ， 那么在 内上述不等式也成立；并且只有在 时， 在 内才会有等号成立的可能。 4. 第一边值问题解的唯一性及稳定性 定理2.4 狄利克雷内问题 的解如果存在， 必是唯一的，而且连续地依赖于所给的边界条件 。 在有界区域 的边界 上的值完全相同，则 证 假设有两个调和函数 和 ，它们 满足 由定理2.3的推论1知 即 下证稳定性：令 满足 则 由定理2.3的推论1知 因此,在 上各点有 即狄利克雷内问题的解连续地依赖于所给的边界条件。 4. 第一边值问题解的唯一性及稳定性 定理2.5 狄利