神奇的斐波那契数列概要.doc

神奇的斐波那契数列 ???????????????????????????●神奇的斐波那契数列●?? ????斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……?　　这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。它的通项公式为：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。）（√5表示根号5）　　有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。? ??? 【奇妙的属性】　　随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887……　　从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。（注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如第五项的平方比前后两项之积多1，第四项的平方比前后两项之积少1）　　如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64＝65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。　　斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。? ?　　斐波那契数列（f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2……）的其他性质：　　1.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-1　　2.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)-1　　3.f(0)+f(2)+f(4)+…+f(2n)=f(2n+1)-1　　4.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1)　　5.f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+1　　6.f(m+n)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n)　　利用这一点，可以用程序编出时间复杂度仅为O（log n）的程序。　　7.[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1)·f(n+1)　　8.f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2　　9.3f(n)=f(n+2)+f(n-2)　　10.f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m≥-1,且n≥1]? ? ?　　在杨辉三角中隐藏着斐波那契数列????????????????????……　　过第一行的“1”向左下方做45度斜线，之后做直线的平行线，将每条直线所过的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8、……　　? ? ???斐波那契数与植物花瓣　　3………………………百合和蝴蝶花　　5………………………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草　　8………………………翠雀花　　13………………………金盏草　　21………………………紫宛　　34、55、89……………雏菊? ?　　斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那息叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。? ? ? ? 向日癸结籽盘，是对数螺线，有顺时针也有逆时针的两组对数螺线。两组螺线的条数往往成相继的两个斐数，一般是34和55，大的向日癸是89和144，还曾发现过一个更大的向日葵有144和233条螺线，都是相继的斐数，和向日葵是一样的，还有松籽、菜花。? ?这种现象走到1993年才给出了合理的解释，这是植物生长的动力特性造成的，相同器官原基之间的夹角是黄金角------137.50776度；这使种子的零售堆集效率达到最高。钢琴中的键也是斐数。? ?推广的斐列：改变前两顶，前两项不能是1、2这样就缺推理下去就缺了一项不是严格意义上的推广。所以前两项可以是1，3，这样就是1.3.4.7.11，18.。。。。。称之为卢卡斯数列。卢卡斯数列前项比后项还有极限，极限还是黄金比。再回到开始的问题，连续的十个斐数，是第七个数的11倍。推广了斐数列也?有这个特性。他的前N?项和等于第N+2项减去第2项。 ?? 【相关的数学问题】　　1