第11讲_简单线性回归概要.ppt

简单线性回归 回归是设法找出变量间在数量上的依存变化关系, 用函数表达式表达出来，这个表达式称之为回归方程。 两变量间的关系 确定性关系：两变量间的函数关系 圆的周长与半径的关系： C＝2?R 速度、时间与路程的关系：L＝ST X与Y的函数关系： Y＝a+bX 非确定性关系：两变量在宏观上存在关系，但并未精确到可以用函数关系来表达。 青少年身高与年龄的关系； 身高与体重的关系:标准体重(kg)=身高(cm)-105 药物浓度与反应率的关系； 一、线性回归的概念 当两个变量存在准确、严格的直线关系时，可以用Y=a+bX，表示两者的函数关系。 其中X 为自变量（independent variable）；Y是因变量（ dependent variable ）。 但在实际生活当中，由于其它因素的干扰，许多双变量之间的关系并不是严格的函数关系，不能用函数方程来准确反映，为了区别于两变量间的函数方程，我们称这种关系为回归关系，用直线方程来表示这种关系称为回归直线或线性回归。 小插曲：为什么叫”回归“？ 二、回归参数的估计 式中的 是由自变量X推算应变量Y的估计值，a是回归直线在Y 轴上的截距；b为样本的回归系数，即回归直线的斜率，表示当X变动一个单位时，Y平均变动b个单位。 计算原理：最小二乘法，即保证各实测点到回归直线的纵向距离的平方和最小，并使计算出的回归方程最能代表实测数据所反映出的直线趋势。 例12-1 某医师为了研究正常成年男性的运动后最大心率与年龄的关系，测得20名正常成年男性的有关数据，散点图如下。 年龄与运动后最大心率的回归方程 回归系数和回归方程的意义及性质 b 的意义 a 的意义 的意义 的意义 的意义 b 的意义 斜率(slope) ＝301.3124 -3.218 X 年龄每增加 1 岁，其运动后最大心率平均减少 3.218（次/分钟) b 的单位为 (Y的单位/X的单位) b is the regression coefficient and the slope of the line 。 b0，y increase with the increase of X b0，y decrease with the increase of X b=0，no linear correlation between two variables. a 的意义 估计值 的意义 X=46时, =153.2844, 即年龄为 46岁 的正常成年男性, 其平均运动后最大心率估计值为 153.2844 （次/分钟)； 给定X时，Y的估计值。 当 时， 的意义 残差平方和 (residual sum of squares). 综合表示点距直线的纵向距离。 在所有的直线中，回归直线的残差平方和是最小的。(最小二乘) 三、总体回归系数的假设检验 与直线相关一样，直线回归方程也是从样本资料计算而得的，同样也存在着抽样误差问题。所以，需要对样本的回归系数b进行假设检验，以判断b是否从回归系数为零的总体中抽得。总体的回归系数用β表示。 一般步骤 H0：β=0 回归方程无意义 H1：β≠0 回归方程有意义 α=0.05 选择合适的假设检验方法（方差分析或t检验），计算统计量 计算概率值P 做出推论：统计学结论和专业结论 方差分析法 因变量总变异的分解 Y的总变异分解 未引进回归时的总变异： (sum of squares about the mean of Y) 引进回归以后的变异(剩余): (sum of squares about regression) 回归的贡献，回归平方和： (sum of squares due to regression) Y的总变异分解 剩余标准差 回归系数检验的基本思想 如果X与Y无线性回归关系，在SS回归和SS剩余都是其他随机因素对Y的影响，由此，MS回归≈MS剩余，总体回归系数β=0，反之， β ≠ 0。所以用F检验对X与Y之间有无回归关系进行检验。 公式 t检验法 H 0： ?＝0， H 1： ?≠0， ? =0.05。 决定系数(coefficient of determination) 取值在0到1之间，反映了回归贡献的相对程度。 决定系数除了作为回归拟合效果的概括