§6---广义特征值问题.pptVIP

* * 在工程、物理和化学中常常会遇到一类所谓广义特征值问题,即求数 及非零向量x,使 (6.1) 或 (6.2) 等关系式成立,其中 为n阶实对称矩阵, 为n阶实对称 正定矩阵.若将矩阵B作对称三角分解,则这类特征值问题可以化为一 般的对称矩阵的特征值问题． 由于B是实对称正定矩阵,因此总存在一个非奇异的下三角阵L, 使得 (6.3) 从而,(6.1)式可写成 上式两端左乘 得 或写成 (6.4) 令 (6.5) (6.6) 6.1 问题 的特征值 (6.4)式便可简写成 (6.7) 因A是对称的,据(6.5)式可得 因此,P也是一个对称矩阵.这样,广义特征值问题(6.1)就化为一个对 称矩阵的特征值问题(6.7). 矩阵P的特征值 就是所要求的特征 值.但是,矩阵P的特征向量y则并不是原问题的特征向量.据(6.6)式 可知原问题的特征向量为 解广义特征值问题(6.1),首先对矩阵B进行Cho1esky分解 如果我们只要存放B的上三角部分的元素,则可将第三章§2.3中计算 L的元素 的计算公式(2.17)改写成 (6.8) 其次,还得计算矩阵 为此,先把它改写成 (6.9) 并令 即 (6.10) 从而便可将(6.9)式写成 (6.11) 这样,计算P分成二步:先由(6.10)式计算X,后据(6.11)式计算P． 由(6.10)式所确定的矩阵X一般是非对称的.但对于计算对称矩阵 P,只需计算其上三角部分或下三下角部分元素.矩阵A是对称的,如果 我们只存放A的上三角部分元素,则仅计算X的上三角部分元素就够 了.设 据(1.10)式可推得 (6.12) 据(6.11)式,计算矩阵P的下三角部分元素的计算公式可写成 (6.13) 最后,计算得对称矩阵P的特征值,就是问题 的特征值． 若对正定矩阵B作出对称三角分解 ,则(6.2)式可以写成 (6.14) 令 (6.15) (6.16) 则(6.14)式便可写成 (6.17) 显然Q是对称矩阵.因此,广义特征值问题(6.2)化为特征值问题(6.17). 计算Q可分两步:计算