专题提升(十一)-以平行四边形为背景的计算与证明.pptVIP

解：(1)证明：∵AF＝DC， ∴AF＋FC＝DC＋FC， 即AC＝DF. 又∵∠A＝∠D，AB＝DE， ∴△ABC≌△DEF. ∴BC＝EF， ∠ACB＝∠DFE. ∴BC∥EF. ∴四边形BCEF是平行四边形． (2)若四边形BCEF是菱形， 连结BE，交CF于点G， 中考预测答图 ∴BE⊥CF，FG＝CG. ∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3， 全效学习中考学练测 全效学习中考学练测 全效学习中考学练测 专题提升（十一） 以平行四边形为背景的计算与证明 已知：如图1，E，F是?ABCD的对角线AC上的点．若BE⊥AC，DF⊥AC，求证：BE＝DF.(浙教版八下P105作业题第2题) 一 以平行四边形为背景的计算与证明 图1 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠BAE＝∠DCF.又∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴∠AEB＝∠CFD. ∵AB＝CD，∴Rt△AEB≌Rt△CFD，∴BE＝DF. 【思想方法】 平行四边形是一种特殊的四边形，它具有对边平行且相等，对角线互相平分等性质．根据平行四边形的性质可以解决一些有关的计算或证明，平行四边形的判定有四种方法：两组对边分别平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等；对角线互相平分． 1．[2012·铜仁]如图2，E，F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，AE∥CF，AE＝CF，BE＝DF.求证：△ADE≌△CBF. 图2 证明：∵AE∥CF，∴∠AED＝∠CFB. ∵DF＝BE，∴DF＋EF＝BE＋EF，即DE＝BF. 2．[2013·郴州]如图3，已知BE∥DF，∠ADF＝∠CBE，AF＝CE.求证：四边形DEBF是平行四边形． 图3 证明：因为BE∥DF，所以∠AFD＝∠CEB. 又因为∠ADF＝∠CBE，AF＝CE， 所以△ADF≌△CBE，所以DF＝BE. 又因为BE∥DF， 所以四边形DEBF是平行四边形． 如图4，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE＝CF.求证：四边形ABCD是平行四边形． 图4 证明：∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD. ∵AE⊥AD，CF⊥BC，∴∠EAD＝∠FCB＝90°. ∵AE＝CF， ∴△EAD≌△FCB(AAS)，∴AD＝CB. ∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形． 如图5，在菱形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD.求菱形各个内角的度数．(浙教版八下P141作业题第4题) 二　以矩形、菱形或正方形为背景的计算与证明 图5 解：连结AC. 因为四边形ABCD是菱形，AE⊥BC，AF⊥CD，且点E，F分别为BC，CD的中点， 所以AC＝AB＝AD＝BC＝CD， 所以三角形ABC，三角形ACD均为等边三角形， 所以∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝∠ACD＝∠ADC＝∠CAD＝60°， 所以菱形ABCD的各个内角的度数分别为∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝∠BCD＝120°. 【思想方法】 要掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定方法，采用类比的学习法，比较它们的区别和联系．对于矩形的性质，重点从“四对”入手，即从对边、对角、对角线及对称轴入手；判定菱形可以从一般四边形入手，也可以从平行四边形入手；正方形既具有矩形的性质又具有菱形的性质． 1．如图6，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连结OH，求证：∠DHO＝∠DCO. 图6 证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝OB，∠COD＝90°.∵DH⊥AB于H，∴∠DHB＝90°，∴OH＝OB＝OD，∴∠OHB＝∠OBH.又∵AB∥CD，∴∠OBH＝∠ODC，∴∠OHB＝∠ODC.在Rt△COD中，∠ODC＋∠OCD＝90°，在Rt△DHB中，∠DHO＋∠OHB＝90°，∴∠DHO＝∠DCO. 2．[2013·临沂]如图7，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连结CF. (1)求证：AF＝DC； (2)若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论． 图7 证明：(1)∵E是AD的中点，∴AE＝ED. ∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∠FAE＝∠BDE， ∴△AFE≌△DBE，∴AF＝DB. ∵AD是BC边上的中线，∴DB＝DC，∴AF＝DC. (2)四边形ADCF是菱形． 理由：由(1)知，AF＝DC. ∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形． 又∵AB⊥AC，∴△ABC是直角三角形． ∴平行四边形ADCF是菱形． 3．[2013·黔东南]如图8，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME