九对策问题.pptVIP

九、对策问题(最佳策略) 对策是决策者在某种竟争场合下作出的决策,或者说是参加竟争的各方,为了自己的获胜采取的对付对方的策略.对策问题不仅有趣味性,而且由于解题方法灵活,技巧性强.因此对于开拓解题思路,增强数学能力大有益处.解决这类问题常常采用的方法有倒推法,从特殊到一般分析法,或是这两种方法的结合. (抢报30的游戏) 甲、乙两名同学从1到30轮流连续报数,谁先报到30这个数,谁就获胜,但是,有个规定,每人每次最多报三个数,至少报一个数,每人报的每个数不得与自己报过的或对方报过的重复,也不得跳过任何一个数. 抢报30改为抢报28呢? 例1. 甲、乙两人轮流报数,但报出的数字不得超过10,也不为0,同时把所报的数一一累加起来,谁先得到100,谁就获胜,问怎样确保获胜? 分析:要确保或胜,就必须解决下面的问题. 应该先报数,还是后报数? 以后每次报 数应遵循什么规律? 假设甲先得到100, 我们可以倒着想,甲得到100之前的那一 次应报几, 因为每个人报的数最大是10, 最小是1, 所以乙最后一次报完数后, 总和最大是99, 这样就知道乙报数之前的 总和应该是99, 也就是说甲为了先得100. 就要先报到89, 不断重复这样的分析,可 以得到甲每次报数应占领的数是: 100,89,78,67,56,45,34,23,12,1. 答: 余数不为零, 先报者获胜. 假设甲先乙后, 则甲获胜. 甲获胜的策略是: (1)甲先报1, (2)乙报a(a是1-10的一个数字),接着甲报 11-a,这样经过9论回,甲必胜. 习题1. 两人轮流报数,但报出的数字不超过7,至少是1,同时把所报的数一一累加起来,谁先得到88,谁就获胜?获胜的策略? 答: 余数为零,后报者获胜. 假设甲先乙后, 乙胜. 乙获胜的策略是: 甲报数字a(a是1至7的一个数字), 乙接着报8-a的数字,经过11轮回. 乙胜 2. 54张扑克牌,两人轮流取,每人每次只能取1至4张,谁取最后一张谁就输,怎样才能赢? 答: 余数不为零,先取着赢. 假设甲先乙后, 甲赢.甲的策略是: (1)甲先取3张, (2)乙取a张(a是1-4张),接着甲取5-a张, 这样经过8轮回,还剩一张给乙,甲赢. 例2. 1996个空格排成一排,第一格中放有一颗棋子,现在甲、乙两人做游戏,轮流移动棋子,每人每次可向前移1格、2格或3格,谁先移动最后一格谁就获胜?问确保获胜的方法是什么? 答:一共有1996个空格,第一格中放有一颗棋子,这样还剩下1995个空格. 余数不为零,先移动者获胜. 假设甲先乙后,则甲获胜. 甲获胜的方法是: (1)甲先移动3格; (2)乙移a格(a是1-3格),接着甲移动4-a格, 这样经过498个回合,甲获胜. 3. 将50个空格排成一行,左边第一格子中放1枚棋子,甲、乙两人轮流走棋,甲先乙后,每人每次可将棋子右移1-3格,规定谁先将棋子走到最后一格谁输,谁必胜?策略如何? 答: 余数为零,后走棋获胜.乙胜. 乙胜的策略是: 甲向右移a格(a是1-3格),接着乙移4-a格,这样经过12回合,还剩1格给甲.乙胜. 例3. 有两堆火柴,两人轮流从其中一堆中取出一根或几根,每次至少取1根,而且不能从两堆里取,谁取到最后一堆的最后一根或几根谁胜,问取胜的策略是 什么? 答: 1.两堆火柴一样多, 后取者获胜. 获胜的策略是: 先取者从一堆取一根或 几根,后取者从另一堆取同样多的根数, 这样取下去,后取者获胜. 2. 两对火柴不一样多,先取者获胜. 获胜的策略是: (1)先取者从多的一堆取走两堆火柴的相差数,使两堆火柴一样多; (2)后取者从一堆取走一根或几根,接着 先取者从另一堆取走同样多的火柴根数,这样取下去,先取者获胜. 4. 两人轮流地往一个圆桌放同样大小的硬币,规则每人每次放一枚,不能叠放,谁放完最后一枚谁获胜,那么先放者还是后放者获胜,如何获胜? 答: 先放者获胜. 获胜的方法是: (1)第一枚放在圆桌的中心; (2)以后无论后放者放在哪,先放者只需放在与它关于圆心对称的位置上. 5. 10张正面朝下的扑克牌排成一排放在桌子上,两个小朋友做翻牌游戏.规定:每人每次只能翻动一张或两张相邻的牌使之正面朝上,翻过的牌不能再翻,两人轮流翻动,翻动最后一张牌的人获胜.问这样做才必定获胜? 答:先翻者第一次必须翻动中间两张牌, 即第5,6两张牌.然后无论后翻者翻动哪张牌,先翻者只要对称地翻即可获胜. 6. 有九张纸片,分别写者1,2,3,4,5,6,7, 8,9这九个数字,两个人轮流取一张,谁手上有三张纸的数字加起来等于15,谁就获胜.问保证不败的策略是什么? 分析:以1-9这九个数中,选三个数,使得 和为15的所有选法: 从上面八组数看,数字 5出现最多,所以选5较优势.