第2章平面问题的基本理论_习题概要.ppt

* 第二章 平面问题的基本理论 例如：深梁问题 例1（习题2-3） 试分析不受面力的空间体表面薄层中的应力状态。 选择坐标系如图。 因该表面无任何面力，fx、fy、fz = 0,故表面上 (σz , τzx , τzy)=0 　在近表面很薄一层 (σz , τzx , τzy)→0 ∴ 接近平面应力问题。 　 　　例2（习题2-4） ?　　按平面应变问题特征来分析， 　　本题中 ? 只有 　 思考题 　　设有厚度很大(即 z 向很长)的基础梁放置在地基上,如果 想把它近似地简化为平面问题处理,问应如何考虑?? ? ?思考题 ???????　???????? 1.试检查，同一方程中的各项，其量纲必然相同（可用来检验方程的正确性）。 2.将条件ΣMc=0 ,改为对某一角点的ΣM=0，将得出什么结果？ 3.微分体边上的应力若考虑为不均匀分布，将得出什么结果？ 思考题 ?????????? 1.试证明微分体绕 z 轴的平均转动分量是 ??? 2.当应变为常量时，εx=a , εy=b , γxy=c ，试求出对应的位移分量。 选择习题 　2—7、2—19。 思考题 ? ?????? 1.试证：由主应力可以求出主应变，且两者方向一致。 2.试证：三个主应力均为压应力，有时可以产生拉裂现象。 试根据空间问题的物理方程进行解释。 3.试证：在自重作用下，圆环（平面应力问题） 比圆筒（平面应变问题）的变形大。 试根据它们的物理方程来解释这种现象。 ? ? ? ? ? 　 　 ???? 例1? 列出边界条件： ???? 例2? 列出边界条件： 思考题 1、若在斜边界面上，受有常量的法向分布压力q作用，试列出应力边界条件，(图(a))。 2、证明在无面力作用的0A边上，σy不等于零（图 (b)）。 3、证明在凸角A点附近，当无面力作用时，其应力为零（图(c)）。 4、试导出在无面力作用时，AB边界上的 σx , σy , τxy 之间的关系。(图(d))。 5、试比较平面应力问题和平面应变问题的基本方程和边界条件的异同，并 　　进一步说明它们的解答的异同。 选择习题 2—13 例1? 试列出图中的边界条件。 解：(a)在主要边界y = ±h/2应精确满足下列边界条件： ?? 在小边界x = l，当平衡微分方程和其它各边界条件都已满足的条件下，三个积分的边界条件必然满足，可以不必校核。 ?在小边界x = 0应用圣维南原理，列出三个积分的近似边界条件，当板厚δ =1时， 例2? 试列出图中的边界条件。 解：(a)在主要边界x= 0, b，应精确满足下列边界条件： ?在小边界y = 0应用圣维南原理，列出三个积分的近似边界条件，当板厚δ =1时， 注意： 在列力矩的条件时两边均是 对原点O的力矩来计算的。 对于y = h的小边界可以 不必校核。 四、按位移求解（位移法）的优缺点： 适用性广─ 可适用于任何边界条件。 求函数式解答困难，但在近似解法 （变分法、差分法、有限单元法） 中有着广泛的应用。 例1 考虑两端固定的一维杆件。?图(a)， 只受重力作用，fx=0 , fy=ρg。 试用位移法求解。 解：为了简化，设μ = 0? 　 位移u = 0,v = v ( y )? 按位移求解，位移应满足式(b),(c),(d)。 代入式(b),第一式自然满足， ?第二式成为 y = 0 , l ，位移边界条件 (v)y=0=0?? ∴? B=0 (v)y=l=0?? ∴? 思考题 1、 试用位移法求解图(b)的位移和应力。 2、试将弹性力学中平面问题的位移法与结构力学的位移法相比，有那些相同 ? 和不同之处？ 选择习题 ???　　 2—10。 图(b) 图(a) ??? 例2? 厚度δ =1的悬臂梁，受一端的集中力 F 的作用。已求得其位移的解答是  ?　 ? ? ? 试检查此组位移是否是图示问题的解答。 解：此组位移解答若为图示问题的解答，则应满足下列条件 ?????1、 区域内用位移表示的平衡微分方程 ?????2、应力边界条件：在所有受面力的边界上满足。其中在小边界Sσ上可以应用圣维南原理，用三个积分的边界条件来代替。 ?????3、位移边界条件：本题在x = l 的小边界上，已考虑利用圣维南原理，使三个积分的应力边界条件已经满足。 ???????? 因此，只需校核下列三个刚体的约束条件： A点（ x = l及y = 0）， ? ???????? ?????????读者可校核这组位移是否满足上述条件，如满足，则是该问题之解。 例1? 试考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在 解：应变分量存在的必要条件是满足形变相