第3讲数学模型应用题概要.doc

第三讲：数学模型应用问题（讲义） 一、知识点睛 应用题的处理流程 理解题意，辨识类型 类型需要考虑： ①所属的数学模型（方程不等式问题、函数问题、测量问题）；②实际生活的背景（工程问题、行程问题、经济问题）． 梳理信息，建立模型 围绕关键词、隐含的数学关系，通过列表或画线段图等方式，对信息分类整理，据此建立数学模型． 常见关键词： ①共需、同时、刚好、恰好、相同……，考虑方程； ②不超过、不多于、少于、至少……，考虑不等式（组）； ③最大利润、最省钱、运费最少、尽可能少、最小值……，考虑函数（一次函数、二次函数），根据函数性质求取最值． 隐含的数学关系： ①原材料供应型（使用量≤供应量） ②容器容量型（载重量≥货物量） 求解验证，回归实际 ①结果是否符合题目要求； ②结果是否符合实际意义． 二、精讲精练 某次地震后，政府为安置灾民，准备从某厂调拨用于搭建帐篷的帆布5 600m2和撑杆2 210m． （1）该厂现有帆布4 600m2和撑杆810m，不足部分计划安排110人进行生产．若每人每天能生产帆布50m2或撑杆40m，则应分别安排多少人生产帆布和撑杆，才能确保同时完成各自的生产任务？ （2）计划用这些材料在某安置点搭建甲、乙两种规格的帐篷共100顶，若搭建一顶甲型帐篷和一顶乙型帐篷所需帆布与撑杆的数量及安置人数如下表所示，则这100顶帐篷最多能安置多少灾民？ 帐篷规格 帆布数量（m2） 撑杆数量（m） 安置人数（人） 甲型 40 30 6 乙型 60 20 8 现要把228吨物资从某地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表： 运往地 车型 甲地（元/辆） 乙地（元/辆） 大货车 720 800 小货车 500 650 （1）求这两种货车各用多少辆． （2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地．设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）． （3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费． 某地一经济适用房楼盘一楼是商铺（暂不出售），二楼至二十三楼均为商品房（对外销售）．商品房售价方案如下：第八层售价为2 000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价增加40元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价减少20元．已知商品房每套面积均为80平方米．开发商为购买者制定了两种购房方案： 方案一：购买者先交纳首付金额（商品房总价的30%），再办理分期付款（即贷款）． 方案二：购买者若一次付清所有房款，则享受8%的优惠，并免收五年物业管理费（已知每月物业管理费为a元）． （1）请写出每平方米售价y（元/米2）与楼层x（2≤x≤23，x是正整数）之间的函数解析式． （2）王老师已筹到60 000元，若用方案一购房，他可以购买哪些楼层的商品房呢？ （3）有人建议王老师使用方案二购买第十六层，但他认为此方案还不如不免收物业管理费而直接享受9%的优惠划算．你认为王老师的说法一定正确吗？请通过计算确定a的范围，并阐明你的看法． 某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件20元．如果售价为每件25元，每年可卖出15万件；如果售价超过25元但不超过30元，每件商品的售价每上涨1元，则每年少卖1万件；如果售价超过30元后，若再涨价，则每涨1元每年少卖0.5万件．设每件商品的售价为x元（x是整数），该产品的年销售量为y（万件）． （1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围． （2）经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到35元之间（可以取到25元、35元）较为合理． （年获利=年销售收入-生产成本-投资成本） ①求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损．若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？ ②第二年，该公司决定给希望工程捐款Z万元，该项捐款由两部分组成：一部分为10万元的固定捐款；另一部分则为每销售一件产品，就抽出一元钱作为捐款．若除去第一年的最大利润（或最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，请你确定此时销售单价的范围． 【参考答案】 1．（1）应安排40人生产帆布，70人生产撑杆，才能确保同时完成各自的生产任务； （2）这100顶帐篷最多能安置760名灾民． 2．（1）大货车8辆，小货车10辆； （2）； （3）总运费最少的货车调配方案： 甲地（辆） 乙地（元/辆） 大货车