第5章离散傅里叶变换应用概要.ppt

第五章 离散傅里叶变换的应用 内容提要 离散傅里叶变换（DFT）及其快速算法（FFT）的重要性不仅在于理论上的严格性，而且还在于工程上的实用性，凡是可以利用傅里叶变换进行分析、综合和处理的技术问题，都能利用FFT有效地解决。本章将详细介绍和分析利用DFT逼近傅里叶变换时存在的问题和解决的方法，如何利用DFT实现快速卷积及相关运算，倒频谱的基本概念及应用等内容。 第一节 用DFT逼近连续时间信号的频谱 工程上所遇到的信号，包括传感器的输出信号，大多是连续非周期信号，这种信号无论是在时域或频域都是连续的，其波形和频谱如图5-1所示。 由式（5-1）、式（5-2）和图5-1，可以看出 1）两式中的积分区间均为（－∞，∞）； 2） 和 都是连续函数。 显然，上述两点无法满足计算机进行数字信号处理的要求，若要应用FFT进行分析和处理，必须在时、频域进行有限化和离散化处理。有限化和离散化处理是在时、频域对被处理的连续信号近似或逼近，是一种近似处理。 主要内容 一、时域的有限化和离散化 时域的有限化，就是对信号的延续时间沿时间轴进行截断，反映在图5-2中，是把时间区间由（－∞，∞）限定为（0， ）。 一、时域的有限化和离散化 时域的离散化，就是对连续信号进行抽样，采样后，有 则 ， ，其结果如图5-2所示。 一、时域的有限化和离散化 那么，原连续信号的频谱离散化后，可近似表示为 经有限化，即n由（－∞，∞）近似为（0， ） ，上式可表示为 要进行数字谱分析，上式中的ω还须进行有限化和离散化。 二、频域的有限化和离散化 时域上的变化必然引起频域上的变化，由于在时域上对 进行了抽样，则在频域上将引起频谱的周期化（是原连续信号频谱的周期延拓，延拓周期为 ），如图5-3所示。 图5-3 时域离散化后的频谱 二、频域的有限化和离散化 二、频域的有限化和离散化 需要指出，上式中， 代表信号截断的时间长度，不是信号周期概念，因为原信号是非周期信号； 也不是基频的概念，而是频谱离散化后相邻离散点的频率间隔。因此为了与周期信号离散谱的符号 相区别，用 来表示非周期信号频谱离散化后的频谱。其结果分别如图5-4和式（5-6）所示。 二、频域的有限化和离散化 由上式可知， 与 ，仅相差一个系数 。同理可得 二、频域的有限化和离散化 有了式（5-6）和式（5-7），就可将对连续信号的谱分析用的谱分析来逼近，从而采用FFT算法。同时需要说明的是，对某一信号分析时，由于关心的是信号的结构成分，所以只需确定信号中频率的相对量即可，因此频谱计算可以直接采用DFT，式（5-6）就是对非周期连续信号进行数字谱分析的基本原理。 三、误差产生原因及解决办法 对连续非周期信号的数字谱分析实质上是用有限长抽样序列的DFT（离散谱）来近似无限长连续信号的频谱（连续谱），其结果必然会产生误差，主要的误差包括：栅栏效应、混叠效应和频谱泄漏三种。 三、误差产生原因及解决办法 （一）栅栏效应 非周期信号具有连续谱，但用DFT来计算非周期信号的频谱时，只能观察到有限个（N个）离散频谱值，而频谱间隔中的值就观察不到了，就好像通过栅栏观察景物一样，一部分景物被阻挡了，这种现象称为栅栏效应。将能够感受到的频谱最小间隔值称为频谱分辨率，一般用F表示。频谱分辨率反映了谱分析算法能将信号中两个靠得很近的谱保持分开的能力。若时域抽样周期为T，抽样点数为N，则有 三、误差产生原因及解决办法 NT实际上就是信号在时域上的截断长度 ，分辨率 与 成反比。栅栏效应是由于频域的离散化引起的，使得在频谱抽样间隔之间的频谱无法反映出来，因此是不可避免的。为了改善栅栏效应，提高频率分辨率，应当增加信号的有效数据长度 或N，也可以采用频谱细化技术，使谱线变密，从而看到原来看不到的“频谱景象”。 三、误差产生原因及解决办法 （二）混叠效应 时域信号的离散化是通过抽样实现的，当采样频率 不够高时，采样信号相对原信号就会产生频谱的混叠，引起频谱失真。频谱混叠效应是由于时域的离散化引起的，克服的办法是提高采样频率，设法满足采样定理，保证 ，其中 是原信号的最高频率。如果时间记录长度为 ， 则在 时间内的采样次N必须满足 三、误差产生原因及解决办法 （三）频谱泄漏 频谱泄漏又称截断误差，是由于对信号进行截断，把无限长的信号限定为有限长，即令有限区间外的函数值均为零值，相当于用一个矩形（窗）信号乘相应的信号，如图5-5所示。 三、误差产生原因及解决办法 由图5-5得，