第一专题：数学认知结构概要.ppt

* * * * * * * * * * * * * 2.数学思维的媒介——心理表象 现代认知理论认为，长期记忆中的信息形态是一种“语义象征”。对应于“输入信息一长期记忆一输出信息”的过程，在大多数情况下，它的内容经历了“输入词语一语义象征一输出词语”的过程。 当学习发生的时候，学生实际上是在对书本和教师传达的信息进行各自的加工和编码，形成自己的有关该概念的语义象征，并且利用它进行记忆和思考，也就是说，描述概念时要用语言，但想象时使用的是语义象征。 Davis认为，记忆中存贮的信息的形式有三种既不排斥、也不包含的可能性： （1）信息以语言文字、命题的方式存贮； （2）信息以图画的方式存贮； （3）信息的存贮既不是词句形式，也不是图画形式。 Poincare（1988）认为存在两种思维类型：“逻辑主义者”的思维方式和“直觉主义者”的思维方式。 在学生中也有类似的差别，一种人偏爱用“解析学”方式处理问题，另一类人偏爱用“几何学”方式来处理。 Kruteskii（1984）在研究中也曾提到人的两种不同的思维方式或习惯：语言－ 逻辑方式和视觉－ 图形方式。 他把倾向于语言－逻辑思考方式的学生称为“分析型”，把倾向于视觉－图形思考方式的学生称为“几何型”。还有一些学生并不偏爱某一种方式，他称之为“协调型”。 分析型的学生的言语系统比较发达 几何型的学生的表象系统比较发达 数学家反省报告表明： 数学思维是借助于言语符号激活表象而进行的。言语符号图形是外部表征，而表象则是内部表征。表象是数学思维的核心元素。 Hadamard的调查表明： 几乎所有的人不仅在思维过程中避免使用语言，甚至还避免使用代数符号或任何其它的固定符号。总是运用模糊的表象进行思考. 学生学习时是如何表征的？ 英国数学家Griffiths 在讨论数学中的直觉和 领悟时曾提出，数学中最常用的思维媒介是数 学结构的模型和实例。他认为，对初学者来 说，几何图形比代数符号更容易掌握接受。 他的结论是：“领悟数学理论看来涉及认识该 理论在物理、几何及数学的一些更熟悉、更容 易理解的那些部分中的一个模型。例如，利用 数轴来认识不等式 的解。 学生学习时是如何表征的？ 1993年Brown等（PME17）对学生进行数学推 理时所利用的意象问题报告了研究结果，归纳 出学生常用的五种意象： 具体意象 记忆意象 动觉意象 动态意象 模型意象 具体意象是指思维中的图像（视觉形象） 记忆意象就是静态视觉意象。 学生利用强记能力，在思维中以视觉再现公 式、框图、算法等。 动觉意象表现为一种肌肉活动。动作操作 动态意象是在心理上出现移动的视觉意象。 如图形的平移，旋转等。 模式意象则是抽象的意象，不需利用具体工具. (a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd) 形式运算表象：（外积+内积，尾积） (a+b)(c+d)=ac+bd+bc+ad的三种记忆方式[6]： 示意编码（先用a去乘，再用 b去乘……） 图形编码（大小矩形的面积关系） 标签编码（前前+后后+里里+外外） 从数学的立场上看，思维表象与数学对象本身存在着一定的差距，但是，表象并不像某些人认为的是“表面现象”。心理学方面的深入研究认为，表象并不只是思考时借用的“思维图象”，或只是从记忆恢复出来的直观东西，它还具有更深刻的意义。 Piaget曾将表象划分为不同层次的三种类型： 第一种是由内化的模仿活动形成的表象。 第二种是通过基本的思想实验来建立的表象，这时它不仅起代表对象的作用，而且表示了心理上操作活动的发展的阶段或结果。 第三种是思维运算的动态的符号，利用它能够支持和推进思想实验和推理。 数学表象：主体在数学活动中的心象。它是数学形象思维的心理元素。[2] 对数学表象的分类有以下几种： （1）按材料内容的不同来分： 图形表象:人脑对几何图形感知而形成的表象. 图式表象:对数学式子，结构，关系，模型感 知而形成的表象。 （2）从创造的角度来看，分成 记忆表象：对客体的一种主观经验（视觉的，听觉的 等等）这个客体对于经历过这种经验的人来说，曾经 作为一种刺激存在过，但现在并不存在于知觉的领域 中。（如“父亲”） 创造表象：对一个客体的主观经验，而这个客体对于 经历过这种经验的人来说，从来没作为一种刺激存在 过，它是一种想象出来的客体。如“美人鱼” 。 （3）从数学表象的构成来分 单象：单个的表象，它也是最简单的表象。例如，