第九讲 联合平稳随机过程的互功率谱密度.ppt

军用PKI体系结构及其关键技术 西安电子科技大学通信工程学院 * 2.2 联合平稳随机过程的互谱密度 实际应用中，经常需要研究两个或两个以上的随机过程及其性质。 两个随机过程中样本函数的互功率谱密度 考虑两个平稳实随机过程X(t)、Y(t)，它们的样本函数分别为 和 ，定义两个截断函数 、 为： 因为样本函数满足绝对可积的条件，所以它们的傅里叶变换存在。 利用帕斯瓦尔等式，以及实随机过程，可得 即 取极限以及交换运算次序，可以得出样本函数 和 的 (时间)互平均功率： 样本函数 互功率谱密度 两个随机过程的互功率谱密度 随机过程 互功率谱密度 推广到随机过程中，并取集合平均（数学期望），可以得出两个随机过程X(t)，Y(t)的互平均功率： 互功率谱密度（互谱密度或互功率谱）： 则 同理 则 如果X(t)和Y(t)均是实随机过程，则 二 互谱密度和互相关函数的关系 自相关函数 功率谱密度 互相关函数 互功率谱密度 对于两个实随机过程X(t)、Y(t)，其互谱密度 与互相关函数 之间的关系为： 即 若X(t)、Y(t)各自平稳且联合平稳，则有 即 同理 即 结论：对于两个联合平稳(至少是广义联合平 稳)的实随机过程，它们的互谱密度与 其互相关函数互为傅里叶变换。 若 若X(t)为通过一负载的电流， Y(t)为加在该负荷两端的电压，则此式等于消耗在该负载上的平均功率。 三 互谱密度的性质 互功率谱密度和功率谱密度是不同的，它不具有频率的非负、实的偶函数，但它具有自己相应的 性质。 性质1 证明 （令 ） 共轭性 （令 ） 性质2 证明 同理可证 偶函数 性质4 若平稳过程X(t)与Y(t)正交，则有 证明 若X(t)与Y(t)正交，则 所以 性质3 奇函数 性质5 若X(t)与Y(t)不相关的平稳过程，X(t)和 Y(t)分别具有常数均值 和 ，有 证明 因为X(t)与Y(t)不相关，所以 （ ） 则 性质6 性质7 互谱不等式