第二十五讲三角函数.ppt

(2)(2013·天津中考)天塔是天津市的标 志性建筑之一.某校数学兴趣小组要测量 天塔的高度.如图,他们在点A处测得天塔 最高点C的仰角为45°,再往天塔方向前 进至点B处测得最高点C的仰角为54°, AB=112 m,根据这个兴趣小组测得的数据,计算天塔的高度 CD(tan36°≈0.73,结果保留整数) 【思路点拨】(1)先根据坡比的定义求∠A的大小,再根据直角 三角形的性质求AB的长. (2)在Rt△ACD中，由∠CAD=45°，得AD=CD，在Rt△BCD中， tan∠BCD= ，得BD=CD·tan∠BCD,再根据AD=AB+BD求出 CD. 【自主解答】(1)在Rt△ABC中，∵tan A= ∴∠A=30°,∵BC=5米,∴AB=2BC=10米. 答案:10 (2)根据题意，∠CAD=45°， ∠CBD=54°，AB=112 m， ∵在Rt△ACD中，∠ACD=∠CAD=45°， ∴AD=CD. ∵在Rt△BCD中，tan∠BCD= , ∠BCD=90°-∠CBD=36°, ∴tan 36°= ,得BD=CD·tan 36°. 又AD=AB+BD， ∴BD=AD-AB=CD-112. 于是，CD·tan 36°=CD-112. ∴CD= ≈415(m). 答:天塔的高度CD约为415 m. 【名师助学】直角三角形解决实际问题的方法及注意点 1.利用直角三角形或构造直角三角形解决实际问题,一般先把实际问题转化为数学问题,若题中无直角三角形,需要添加辅助线(如作三角形的高等)构造直角三角形,再利用解直角三角形的知识求解. 2.解直角三角形时结合图形分清图形中哪个三角形是直角三角形,哪条边是角的对边、邻边、斜边.此外正确理解俯角、仰角等名词术语是解答此类题目的前提. 方位角 【典例】(2012·聊城中考)周末,小亮一家在东昌湖游玩,妈 妈在湖心岛岸边P处观看小亮与爸爸在湖中划船(如图).小船 从P处出发,沿北偏东60°方向划行200米到达A处,接着向正南 方向划行一段时间到达B处.在B处小亮观测妈妈所在的P处在 北偏西37°方向上,这时小亮与妈妈相距多少米?(精确到1米) (参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈ 0.75, ≈1.41, ≈1.73) 【思路点拨】 (1)作PD⊥AB于点D,构造直角三角形 (2)在Rt△PAD中,用余弦求PD;在Rt△PBD中,用正弦求PB 突破口 方位角在实际问题中的应用 创新点 【自主解答】作PD⊥AB于点D, 由已知得PA=200(米),∠APD=30°,∠B=37°, 在Rt△PAD中, 由cos 30°= , 得PD=PA·cos 30°=200× = (米), 在Rt△PBD中, sin 37°= ,得PB= ≈288(米). 答:小亮与妈妈的距离约为288米. 【思考点评】 1.方法感悟:方位角是按照“上北下南,左西右东”的原则,确定物体位置的一种方法. 2.技巧提升: (1)当从A看B是北偏东30°时,那么从B看A是南偏西30°. (2)方位角往往与解直角三角形的知识联系在一起进行考查,有时与行程问题中的方程联系在一起. 【学以致用】 (2013·潍坊中考)一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险, 测得海岛A与B的距离为20海里,渔船将险情报告给位于A处的 救援船后,沿北偏西80°方向向海岛C靠近.同时,从A处出发的 救援船沿南偏西10°方向匀速航行.20分钟后,救援船在海岛C 处恰好追上渔船,那么救援船航行的速度为(　　) A.10 海里/小时 B.30海里/小时 C.20 海里/小时 D.30 海里/小时 【解析】选D.∠ABC=80°-20°=60°，∠CAB=20°+10°=30°，∴∠C=90°. 在Rt△ACB中，AC=ABcos 30°=20× = (海里)， ∴救援船的速度为 (海里/小时). 1.(2013·乌鲁木齐模拟)当45°θ90°时,下列各式中正 确的是(　　) A.tanθcosθsinθ B.sinθcosθtanθ C.tanθsinθcosθ D.cosθsinθtanθ 【解析】选C.当45°θ90°时,1sinθcosθ0,所以 tanθ= 1,所以tanθsinθcosθ. 【归纳整合】 1.函数值范围:三角函数的前提是在直角三角形中,三角形中两边之和大于第三边,直角边小于斜边,因此: 对任意的角α,都一定有0sinα1,0cosα1,tanα0. 2.增减范围:当0°A90°时,sinA,tanA随角度的增大而增大,cosA随角