定积分的背景(二).pptVIP

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定积分的背景(二)

* 定积分的背景——面积和路程问题之路程问题 估计变速运动的路程 已知匀速运动物体的速度v和运动的时间t,我们可以求出它走过的路程s=vt,那么如何求非匀速运动的物体走过的路程呢? 问题: 想象这样一个场景:一辆汽车的司机猛踩刹车,汽车滑行5s后停下,在这一过程中,汽车的速度 v (单位:m/s)是时间 t 的函数: 请估计汽车在刹车过程中滑行的距离 s . 分析:由已知,汽车在刚开始刹车时的速度是v(0)=25m/s,我们可以用这个速度来近似替代汽车在这段时间内的平均速度,求出汽车的滑行距离: s=25×5=125(m) 但显然,这样的误差太大了. 为了提高精确度,我们可以采用分割滑行时间的方法来估计滑行距离. 首先,将滑行的时间5s平均分成5份. 我们分别用v(0),v(1),v(2),v(3),v(4) 近似替代汽车在0~1s、1~2s、2~3s、3~4s、4~5s内的平均速度,求出滑行距离s1: 由于v是下降的,所以显然s1大于s,我们称它为汽 车在5 s内滑行距离的过剩估计值. 用v(1),v(2),v(3),v(4),v(5)分别近似替代汽车 在0~1s、1~2s、2~3s、3~4s、4~5s内的平均速 度,求出汽车在5s内滑行距离的不足估计值 : 不论用过剩估计值s1还是不足估计值 表示s,误差都不超过: 为了得到更加精确的估计值,可以将滑行时间分得更细些,因为我们知道,滑行时间的间隔越小,用其中一点的速度代替这段时间内的平均值,其速度误差就越小. 比如,将滑行时间5s平均分成10份. 用类似的方法得到汽车在5s内滑行距离的过剩估计值s2: 汽车在5s内滑行距离的不足估计值 : 无论用s2还是 表示汽车的滑行距离s,误差都不超过 结论 滑行时间等分得越细,误差越小.当滑行时间被等分后的小时间间隔的长度趋于0时,过剩估计值和不足估计值就趋于汽车滑行的路程. 变式练习 汽车作变速直线运动,在时刻t的速度为v(t)=-t2+2,(单位:km/h),那么它在0≤t≤1(单位:h)这段时间内行驶的路程s是多少?(将行驶的时间1h平均分成10份) 解析 分别用v(0), v(0.1), v(0.2),…, v(0.9)近似替代汽车在0~0.1h,0.1~0.2h,…,0.8~0.9h,0.9~1h的平均速度,求出汽车 在1h时行驶的路程的过剩估计值 = [v(0)+ v(0.1)+ v(0.2)+… +v(0.9)] ×0.1 =1.715(km). 分别用v(0.1),v(0.2),v(0.3),… v(1)近似替代 汽车在0~0.1h,0.1~0.2h,… 0.8~0.9h,0.9~ 1h的平均速度,求出汽车在1h时行驶的路程的不足 估计值 = [v(0.1)+ v(0.2)+ v(0.3)+…+v(1)] ×0.1 =1.615(km) 无论用 还是 估计汽车行驶的路程s,估计误差都不会超过1.715-1.615=0.1(km) 1. 在“近似替代”中,函数f(x)在区间[xi,xi+1]上的近似值等于( ) A.只能是区间的左端点的函数值f(xi) B.只能是区间的右端点的函数值f(xi+1) C.可以是区间内的任意一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi,xi+1]) D.以上答案均正确 解析 以直代曲,可以把区间[xi,xi+1]上的任意一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi,xi+1])作为小矩形的高. C 2.已知自由落体的运动速度v=gt,则估计在时间区 间[0,6]内,将时间区间10等分时,物体下落的 距离的估计值可以为( ) A.14g B.15g C.16g D.17g 解析 由其过剩估计值与不足估计值分别为19.8g、16.2g,则估计值应在[16.2g,19.8g]之间. D 3.求曲线 与直线x=1,x=2,y=0所围成的平面 图形的面积时,把区间5等分,其估计误差不超过 _____. 解析 分别以左、右端点的函数值为小矩形的高,得 此平面图形面积的不足估计值s和过剩估计值S如 下: 所以S-s=0.3. 0.3 4.变速运动的物体的速度和时间之间的函数关系式为v(t)=t+2,估计该物体在区间[0,2]内运动的路程.若将区间10等分,则其不足估计值为_____. 解析:把区间[0,2]10等分,取小区间的左端点的函数值作为小区间的平均速度,可得不足估计值为: s=(2+2.2+2.4+2.6+2.8+3.0+3.2+3.4+3.6+ 3.8)×0.2=5.8. 5.8 5.求由曲线y=1+x2与直线x=0,x=2,y=0所围成的平面图形的面积的估计值,并写出估计误差.(将区间10等分) 解析

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